Question

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB =18, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 9. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Answer 1

Смотреть во вложении решения:

Answer 2

Решение первой задачи

Известно, что отрезки AB и CD являются хордами данной окружности. Тогда по теореме косинусов для хорд окружности выполняется: `AB^2 = 12^2 + x^2 - 2*12*x*cos(A)` `CD^2 = 9^2 + x^2 - 2*9*x*cos(B)` Так как углы A и B равны (хорды пересекают окружность под одинаковым углом), то получаем: `AB^2 = 12^2 + x^2 - 2*12*x*cos(B)` Равенство этих выражений даст квадратное уравнение относительно x, решив которое, находим: `x = CD = 15`

Решение второй задачи

Из условия задачи известно, что углы BCA и BDA равны. Так как четырехугольник ABCD выпуклый, то сумма углов внутри каждой вершины равна 360°. Тогда сумма углов ABC + ACB = 180°. Но ABC = BCA (равные альтернативные углы), следовательно ACB = BCA. Аналогично, сумма углов ABD + DBA = 180°. Но ABD = BDA (равные альтернативные углы), следовательно DBA = BDA. Следовательно, углы ABD и ACD равны.