Question

Острый угол прямоугольного треугольника равен 30 градусов, а его гипотенуза 24 см. Найдите длины отрезков гипотенузы, на которые ее делит высота, проведенная из вершины прямого угла

Answer 1

По моему будет 54 см

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать основные свойства прямоугольного треугольника и связанные с ними тригонометрические функции.

Дано: Острый угол прямоугольного треугольника равен 30 градусам. Гипотенуза треугольника равна 24 см.

Известно, что высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, делит гипотенузу на два отрезка. Обозначим эти отрезки через \(a\) и \(b\).

При этом, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике угол, противолежащий гипотенузе, равен 90 градусам, острый угол равен 30 градусам, следовательно, третий угол будет равен \(180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Теперь можем использовать тригонометрические соотношения для треугольника с углом 30 градусов.

В данном случае, \(a\) и \(b\) представляют собой проекции гипотенузы на катеты.

Так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то:

\[\tan(30^\circ) = \frac{a}{b}\]

Известно, что \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Теперь можем выразить \(a\) и \(b\):

\[a = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot b\]

Также, известно, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы по теореме Пифагора:

\[a^2 + b^2 = 24^2\]

Теперь подставим выражение для \(a\) из первого уравнения во второе:

\[\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot b\right)^2 + b^2 = 24^2\]

Решим это уравнение:

\[\frac{1}{3} \cdot b^2 + b^2 = 576\] \[\frac{4}{3} \cdot b^2 = 576\] \[b^2 = \frac{3}{4} \cdot 576\] \[b^2 = 432\] \[b = \sqrt{432}\] \[b = 12\sqrt{3}\]

Теперь найдем значение \(a\):

\[a = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot b\] \[a = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 12\sqrt{3}\] \[a = 12\]

Таким образом, длины отрезков гипотенузы, на которые её делит высота, равны \(a = 12\) см и \(b = 12\sqrt{3}\) см.