Question

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Отрезок MN соединяет середины его сторон AD и ВС. Известно, что 2MN = AB + CD. Докажите, что ABCD – трапеция, причём AB параллельна CD.

Answer 1

Доказательством того, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований служит то, что диагональ трапеции разрезает её на два треугольника, средние линии которых и образуют среднюю линию трапеции. Это условие работает только при параллельности противоположных сторон АВ и СД. Если АВ и СД не будут параллельными, то средние линии треугольников, разделённых диагональю не совпадут с MN.
Вывод: для того, чтобы 2MN=АВ+СД нужна параллельность сторон АВ и СД. Значит АВСД - трапеция.
Доказано.

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Отрезок MN соединяет середины его сторон AD и ВС. Известно, что 2MN = AB + CD. Докажите, что ABCD – трапеция, причём AB параллельна CD.

Доказательство:

Пусть точка P – середина стороны AB, а точка Q – середина стороны CD. Тогда, по свойству средней линии, PQ параллельна MN и PQ = 1/2 (AB + CD). Но из условия задачи мы знаем, что 2MN = AB + CD, откуда следует, что PQ = MN. Таким образом, мы получили, что PQ и MN – параллельные и равные отрезки, которые соединяют середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD. По теореме о средней линии, это означает, что ABCD – параллелограмм. А так как PQ и MN – середние линии трапеции, то ABCD – трапеция, причём AB параллельна CD. Ч.т.д.