Question

Помогите с заданием, буду очень благодарен. Заранее спасибо!!!Дано: А(4;-2), В(-2;-1), С(1;3), D(7;2). Докажи-те, что АВСD – параллелограмм, и найдите его периметр.

Answer 1

Найдем координаты середины отрезка AC:

$x=\frac{4+1}{2}=2.5;y=\frac{-2+3}{2}=0.5;$

 

Найдем координаты середины отрезка BD:

$x=\frac{-2+7}{2}=2.5;y=\frac{-1+2}{2}=0.5;$

 

Таким образом, диагонали четырехугольника  пересекаются и точкой пересекаются в точке пересечения делятся пополам

По признаку параллелограма четырехугольник ABCD - параллелограмм

 

$AB=\sqrt{(4-(-2))^2+(-2-(-1))^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37};\\\\BC=\sqrt{(-2-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{9+16}=5;\\\\P_{ABCD}=2*(AB+BC)=2*(5+\sqrt{37})=10+2\sqrt{37}$

 

Answer 2

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, мы должны убедиться, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Первым шагом найдем длины отрезков AB, BC, CD и DA, используя формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

Длина AB: AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) AB = sqrt((-2 - 4)^2 + (-1 - (-2))^2) AB = sqrt((-6)^2 + (1)^2) AB = sqrt(36 + 1) AB = sqrt(37)

Длина BC: BC = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) BC = sqrt((1 - (-2))^2 + (3 - (-1))^2) BC = sqrt((3)^2 + (4)^2) BC = sqrt(9 + 16) BC = sqrt(25) BC = 5

Длина CD: CD = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) CD = sqrt((7 - 1)^2 + (2 - 3)^2) CD = sqrt((6)^2 + (-1)^2) CD = sqrt(36 + 1) CD = sqrt(37)

Длина DA: DA = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) DA = sqrt((7 - 4)^2 + (2 - (-2))^2) DA = sqrt((3)^2 + (4)^2) DA = sqrt(9 + 16) DA = sqrt(25) DA = 5

Теперь убедимся, что противоположные стороны параллельны. Мы можем сравнить коэффициенты наклона прямых, проходящих через пары точек AB и CD, а также BC и DA. Если коэффициенты наклона равны, то стороны параллельны.

Коэффициент наклона прямой AB: m_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) m_AB = (-1 - (-2)) / (-2 - 4) m_AB = (-1 + 2) / (-6) m_AB = 1 / (-6) m_AB = -1/6

Коэффициент наклона прямой CD: m_CD = (y2 - y1) / (x2 - x1) m_CD = (2 - 3) / (7 - 1) m_CD = (-1) / 6 m_CD = -1/6

Коэффициент наклона прямой BC: m_BC = (y2 - y1) / (x2 - x1) m_BC = (3 - (-1)) / (1 - (-2)) m_BC = (3 + 1) / (1 + 2) m_BC = 4 / 3

Коэффициент наклона прямой DA: m_DA = (y2 - y1) / (x2 - x1) m_DA = (2 - (-2)) / (7 - 4) m_DA = (2 + 2) / (3) m_DA = 4 / 3

Как видно, коэффициенты наклона прямых AB и CD равны -1/6, а коэффициенты наклона прямых BC и DA равны 4/3. Это означает, что противоположные стороны AB и CD параллельны, а также стороны BC и DA параллельны.

Теперь, чтобы доказать, что стороны также равны по длине, сравним найденные значения:

AB = sqrt(37) CD = sqrt(37)

BC = 5 DA = 5

Как видно, стороны AB и CD равны по длине, а также стороны BC и DA равны по длине.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Найдем периметр параллелограмма ABCD:

Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон. В нашем случае, у нас есть четыре стороны AB, BC, CD и DA.

Периметр = AB + BC + CD + DA Периметр = sqrt(37) + 5 + sqrt(37) + 5 Периметр = 2 * sqrt(37) + 10

Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен 2 * sqrt(37) + 10.

Answer 3

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам необходимо проверить два условия:

1. Противоположные стороны параллельны. 2. Противоположные стороны равны по длине.

Давайте проверим оба эти условия для четырехугольника ABCD, используя данные координат точек A(4,-2), B(-2,-1), C(1,3) и D(7,2).

Проверка условия 1: Противоположные стороны параллельны

Чтобы проверить параллельность сторон AB и CD, мы можем вычислить их угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), вычисляется по формуле:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Вычислим угловые коэффициенты для сторон AB и CD:

Для стороны AB: m_AB = (-1 - (-2)) / (-2 - 4) = 1/6

Для стороны CD: m_CD = (2 - 3) / (7 - 1) = -1/6

Мы видим, что угловые коэффициенты сторон AB и CD равны друг другу с обратным знаком (-1/6 и 1/6), что означает, что эти стороны параллельны.

Теперь проверим параллельность сторон BC и AD:

Для стороны BC: m_BC = (3 - (-1)) / (1 - (-2)) = 4/3

Для стороны AD: m_AD = (-2 - 2) / (4 - 7) = 4/3

Мы видим, что угловые коэффициенты сторон BC и AD также равны друг другу (4/3), что означает, что эти стороны параллельны.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны AB и CD, а также BC и AD, параллельны.

Проверка условия 2: Противоположные стороны равны по длине

Чтобы проверить равенство длин противоположных сторон, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Вычислим длины сторон AB, BC, CD и AD, и сравним их:

Длина стороны AB: d_AB = sqrt((-2 - (-1))^2 + (-2 - (-1))^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)

Длина стороны BC: d_BC = sqrt((1 - (-2))^2 + (3 - (-1))^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Длина стороны CD: d_CD = sqrt((7 - 1)^2 + (2 - 3)^2) = sqrt(6^2 + (-1)^2) = sqrt(36 + 1) = sqrt(37)

Длина стороны AD: d_AD = sqrt((7 - 4)^2 + (2 - (-2))^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5

Мы видим, что длины противоположных сторон AB и CD равны (sqrt(2) = sqrt(37)), а также длины сторон BC и AD равны (5 = 5).

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны ABCD равны по длине.

Вывод: ABCD - параллелограмм

Мы проверили оба условия и получили, что противоположные стороны параллельны и равны по длине. Следовательно, мы доказали, что ABCD - параллелограмм.

Найдем периметр параллелограмма ABCD

Периметр параллелограмма вычисляется как сумма длин его сторон. Вычислим длины сторон AB, BC, CD и AD и сложим их:

AB = sqrt(2) BC = 5 CD = sqrt(37) AD = 5

Периметр P = AB + BC + CD + AD = sqrt(2) + 5 + sqrt(37) + 5

Поэтому, периметр параллелограмма ABCD равен sqrt(2) + 5 + sqrt(37) + 5.

Пожалуйста, проведите необходимые вычисления, чтобы найти точное значение периметра параллелограмма ABCD.