Question

Боковые ребра правильной треугольной пирамиды составляют с основанием угол в 60 градусов. Найдите объем описанного около пирамиды конуса, если сторона основания пирамиды равна а

Answer 1

МАВС - правильная пирамида. АВ=ВС=АС=а, <MAO=<MBO=<MCO=60°
МО - высота пирамиды, О -  центр ΔАВС
прямоугольный ΔМОА: 
катет МО=Н, найти
катет АО=(2/3)АК, АК - высота ΔАВС
АК=а√3/2
АО=(а√3/2)*(2/3), АО=а√3/3
<MOA=60°. tg60°=MO:OA. MO=OA*tg60°
MO=(a√3/3)*√3, MO=a
конус описан около правильной пирамиды,=> основание пирамиды - правильный треугольник в писан в окружность, вершина конуса "совпадает" с вершиной пирамиды, т.е высота пирамиды=высоте конуса. Н=а, R=AO, R=a√3/3
$V= \frac{1}{3}*S*H$
$V= \frac{1}{3} * \pi *( \frac{a \sqrt{3} }{3} ) ^{2} *a$
$V= \frac{a ^{3} * \pi }{9}$

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится формула для объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h,

где V - объем конуса, π - число пи (приблизительно равно 3.14), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

В нашем случае, основание пирамиды является равносторонним треугольником, поэтому сторона основания пирамиды равна a, а высота пирамиды равна h = a * √(3) / 2.

Также, радиус основания конуса равен половине стороны основания пирамиды, то есть r = a / 2.

Подставим все значения в формулу для объема конуса:

V = (1/3) * π * (a / 2)^2 * (a * √(3) / 2) = (1/3) * π * a^2 * √(3) / 4.

Таким образом, объем описанного около пирамиды конуса равен (1/3) * π * a^2 * √(3) / 4.