Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 12, а его гипотенуза равна 2√13 . Найдите косинус острого угла между медианами данного треугольника, проведенными к его катетам.

Answer 1

Треугольник АВС, уголС=90, АВ=2*корень13, площадь=12=1/2*АС*ВС, 24=АС*ВС, АС=24/ВС, АВ в квадрате=АС в квадрате+ВС в квадрате, 52=576/АС в квадрате +ВС в квадрате, BC^4 - 52*BC^2+576=0, ВС в квадрате=(52+-корень(2704-4*576))/2=(52+-20)/2, ВС в квадрате=72/2, ВС=6, АС=4 (или ВС=4, тогда АС=6), проводим медианы ВМ на АС. АМ=МС=1/2АС=4/2=2, медиана АК на ВС, ВК=КС=1/2ВС=6/2=3, треугольник МВС прямоугольный, ВМ=корень(ВС в квадрате+МС в квадрате)=корень(36+4)=корень40, треугольник АКС прямоугольный, АК=корень(АС в квадрате+КС в квадрате)=корень(16+9)=5, медианы в точке пересечения О делятся в отношении 2/1 начиная от вершины, ВО=2/3ВМ=2*корень40/3, ОК=1/3АК=5/3, cos угла ВОК=(ВО в квадрате+ОК в квадрате-ВК в квадрате)/(2*ВО*ОК)=(4*40/9 +25/9 -9) /(2*5/3 *2*корень40/3) =((160+25-81)/9)/((40*корень10)/9)=104/(40*корень10)=13/(5*корень10), если в цифрах то =0,8222 или 34 град41 мин или около35 град. Проверьте расчеты.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу косинуса для прямоугольного треугольника и свойство медианы.

Нахождение косинуса острого угла между медианами:

1. Найдем длину медианы, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Таким образом, длина медианы, проведенной к гипотенузе, будет равна:

медиана_гипотенузы = 1/2 * гипотенуза

Заменяя значение гипотенузы, получаем:

медиана_гипотенузы = 1/2 * 2√13 = √13

2. Найдем длину медианы, проведенной к катету. По свойству медианы, медиана, проведенная к катету, делит его на две равные части. Таким образом, длина медианы, проведенной к катету, будет равна половине длины катета. Поскольку прямоугольный треугольник имеет два катета, длина медианы, проведенной к катету, будет равна:

медиана_катета = 1/2 * катет

Заменяя значение катета, получаем:

медиана_катета = 1/2 * 12 = 6

3. Найдем косинус острого угла между медианами. Для этого воспользуемся формулой косинуса:

cos(угол) = (медиана_гипотенузы * медиана_катета) / (гипотенуза * катет)

Подставим известные значения:

cos(угол) = (√13 * 6) / (2√13 * 12)

Упростим выражение:

cos(угол) = 3 / 4

Таким образом, косинус острого угла между медианами, проведенными к катетам прямоугольного треугольника, равен 3/4.