Question

Через центр правильного треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр ОН. Найти косинус угла между плоскостями АВС и АВН, если ВН=АВ

Answer 1

Используя данные условия можно построить правильную пирамиду НАВС, в которой все рёбра равны, значит тр-ки АВС и НАВ равны.
НО - высота пирамиды. 
В тр-ках АВС и НАВ к стороне АВ проведём высоты СМ и НМ соответственно. ОМ - радиус вписанной в основание окружности. 
ОМ=а√3/6, где а - сторона правильного тр-ка.
НМ - высота правильного тр-ка НАВ, НМ=а√3/2.
В тр-ке НОМ cosM=ОМ/НМ=(а√3/6):(а√3/2)=1/3 - это ответ.

Answer 2

Через центр правильного треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр ОН. Найти косинус угла между плоскостями АВС и АВН, если ВН=АВ

Для решения этой задачи, нам необходимо найти косинус угла между плоскостями АВС и АВН, при условии, что ВН=АВ.

Решение:

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства правильного треугольника:

- В правильном треугольнике все стороны равны. - Углы в правильном треугольнике равны 60 градусам.

Также, нам дано, что ВН=АВ. Это означает, что треугольник АВН является равнобедренным треугольником.

Теперь, чтобы найти косинус угла между плоскостями АВС и АВН, мы можем использовать формулу для косинуса угла между двумя плоскостями:

cos(θ) = (n₁ · n₂) / (||n₁|| ||n₂||)

где n₁ и n₂ - нормали к плоскостям АВС и АВН соответственно.

Так как плоскость АВС является плоскостью правильного треугольника, мы можем использовать его свойства для нахождения нормали к плоскости АВС.

Нормаль к плоскости АВС будет перпендикулярна плоскости и проходить через ее центр. Так как центр правильного треугольника АВС совпадает с его ортоцентром, мы можем провести перпендикуляр к плоскости АВС через его центр.

Таким образом, нормаль к плоскости АВС будет совпадать с вектором ОН.

Теперь, чтобы найти косинус угла между плоскостями АВС и АВН, нам нужно найти косинус угла между векторами ОН и нормалью к плоскости АВН.

Поскольку ВН=АВ, вектор ОН будет перпендикулярен плоскости АВН и будет совпадать с нормалью к плоскости АВН.

Таким образом, косинус угла между плоскостями АВС и АВН будет равен косинусу угла между векторами ОН и ОН, то есть 1.

Итак, косинус угла между плоскостями АВС и АВН равен 1.