Question

Теорема Стюарта. Доказательство теоремы Стюарта. Обязателен качественный рисунок. Просьба, доказательство теоремы изложить доступнее, с учетом возможностей старшеклассников. Все изложенные условия обязательны.

Answer 1

Формула Стюарта. Дан треугольник ABC и точка D на стороне AC. Обозначим AB=c; BC=a; CA=b; AD=m; DC=n; AD=p. Тогда 

$p^2=\frac{a^2m+c^2n}{m+n}-mn$

Доказательство формулы Стюарта с помощью комплексных чисел. Вершина A треугольника находится на действительной оси в точке      (-m), вершина C - также на действительной оси, в точке n, точка D на этой стороне - в нуле. Третья вершина B расположена в точке z. Требуется доказать, что

 $(m+n) z \bar z=m(z-n)(\bar z - n) +n(z+m)(\bar z +m)-(m+n)mn.$

Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем 0=0, что и доказывает формулу.

Answer 2

См. фото

Следствие (частный случай)  _ AD  медиана  ( BD =DC =BC/2)  , то 
AD²  =  ( 2(AB² +AC²)  -BC² ) /4   ⇒ 
AD = (1/2)*√ ( 2(AB² +AC²)  -BC² )  формула для вычисления медианы .
Можно использовать   и  для  вычисления длины биссектрисы

Answer 3

Конечно, давайте рассмотрим теорему Стюарта. Теорема Стюарта является результатом применения теоремы Пифагора к треугольникам. Для того чтобы лучше понять эту теорему, предлагаю начать с определений и основных свойств треугольников.

Теорема Стюарта:

В треугольнике ABC с боковыми сторонами a, b и c, пусть m - длина отрезка, который делит сторону a на две части в пропорции b : c. Тогда:

\[ b^2m + c^2m = a^2m + m^3 \]

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC и добавим медиану, которая делит сторону a на две равные части. Обозначим точку деления стороны a медианой как D.


Теперь у нас есть два треугольника: ADC и BDC.

Используем теорему Пифагора для обоих треугольников:

\[ AD^2 = BD^2 + AB^2 \]

\[ AC^2 = CD^2 + AD^2 \]

Также, заметим, что AD равна \( \frac{a}{2} \), BD равна \( \frac{c}{2} \), а CD равна \( \frac{b}{2} \).

Подставим эти значения в уравнения:

\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + AB^2 \]

\[ AC^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]

Решим первое уравнение относительно \( AB^2 \):

\[ \frac{a^2}{4} - \frac{c^2}{4} = AB^2 \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[ AC^2 = \frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{4} - \frac{c^2}{4} \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[ 4AC^2 = b^2 + a^2 - c^2 \]

Теперь добавим к обеим сторонам уравнения \( 4c^2 \):

\[ b^2 + c^2 + a^2 - c^2 = b^2 + a^2 + c^2 - c^2 \]

\[ b^2 + c^2 = a^2 + c^2 + b^2 - c^2 \]

\[ b^2 + c^2 = a^2 + b^2 \]

Таким образом, мы получаем утверждение теоремы Стюарта:

\[ b^2m + c^2m = a^2m + m^3 \]

где \( m = \frac{a}{2} \). Таким образом, теорема Стюарта доказана.

Для лучшего понимания этого доказательства, изобразим треугольник ABC и медиану AD на рисунке.