Question

В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13см. Найти расстояние от точки F до прямой DE

Answer 1

Пусть перпендикуляр FР - расстояние от точки F до прямой DE.

Рассмотрим ΔЕFС и ΔЕFР. Эти треугольники прямоугольные. Они равны, т.к. у них общая гипотенуза ЕF и равные острые углы: ∠СЕF = ∠РЕF.

Из равенства этих треугольников следует и равенство катетов, лежащих против равных углов: РF = СF = 13см

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника.

Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую ей сторону на отрезки, пропорциональные другим двум сторонам треугольника.

Обозначим длину отрезка DE как a, а длину отрезка CE как b.

Так как биссектриса EF делит сторону DC пропорционально сторонам DE и EC, то можно записать следующее соотношение:

DF/FE = DC/CE

Так как треугольник DCE является прямоугольным, то по теореме Пифагора:

DC^2 = DE^2 + CE^2

Заменим DC на a + b, DE на a и CE на b:

(a + b)^2 = a^2 + b^2

Раскроем скобки:

a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2

Упростим выражение:

2ab = 0

Так как a и b не могут быть равны нулю одновременно, то получаем, что a = 0 или b = 0.

Если a = 0, то треугольник DCE вырождается в отрезок CE, и биссектриса EF совпадает с стороной CE. В этом случае расстояние от точки F до прямой DE равно 0.

Если b = 0, то треугольник DCE вырождается в отрезок DE, и биссектриса EF совпадает с стороной DE. В этом случае расстояние от точки F до прямой DE также равно 0.

Таким образом, в обоих случаях расстояние от точки F до прямой DE равно 0.