Question

Знайдіть радіус кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, якщо бічна сторона трикутника дорівнює b, а кут при основі a.

Answer 1

Нехай даний рівнобедрений трикутник ABC з основою AC=b і кутом при основі A=C=a

Нехай BD-висота, опущена основу

Тоді. AD=CD=AB*cos A=b cos a

BD=AB*sin A=b *sin a

Радіус вписаного кола дорівнює відношенню площі кола до півпериметра

Площа триктуника дорівнює половині дожини основи на висоту

S=bcos a*b*sin a=1\2*b^2*sin 2a

Півпериметр дорівнює p=(b+b+2bcos a)\2=b*(1+2cos a)\2

Радіус вписаного кола =S\p=b^2\2 *sin 2a\(b(1+2cos a)\2)=

b*sin 2a\(1+2cos a)

Відповідь b*sin 2a\(1+2cos a)

ніби так

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використовуємо властивість вписаного кола в рівнобедрений трикутник. Відомо, що випущений з вершини кут трикутника, що лежить при основі, ділить основу на дві рівні частини. Таким чином, основа трикутника поділена на дві відрізки довжиною b/2.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику, що утворюється в результаті розбиття основи на дві рівні частини і радіусу, маємо: (r^2) = (b/2)^2 + a^2,

де r - радіус вписаного кола, b - довжина основи трикутника, a - кут при основі трикутника.

Розв'язавши це рівняння відносно r, отримаємо: r = sqrt((b/2)^2 + a^2).

Отже, радіус вписаного кола, вписаного в рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом при основі a, дорівнює sqrt((b/2)^2 + a^2).