Question

Компланарны ли векторы : а) a(-3;-3;0) , i и j б) b(2;0;-3), i и jв) c(1;0;-2), i и kг) d91;-1;2),е(-2;0;1) и f(5;-1;0)д) m(1;0;2),n(1;1;-1) и p(-1;2;4)е) q(0;5;3), r(3;3;3) и s(1;1;4)

Answer 1

Векторы компланарны, если определитель матрицы, составленной из координат этих векторов, равен нулю.

Смотри решение в прикрепленном файле.

Answer 2

Компланарность векторов

Для проверки компланарности векторов, необходимо убедиться, что они лежат в одной плоскости. Для этого можно воспользоваться двумя способами:

1. Метод смешанного произведения. Если векторы компланарны, то их смешанное произведение должно быть равно нулю.

2. Система линейных уравнений. Векторы a, b и c компланарны, если существуют такие числа α, β и γ, что αa + βb + γc = 0, где α, β и γ не все равны нулю. Это эквивалентно системе линейных уравнений.

Давайте проверим компланарность данных векторов с помощью обоих методов.

# Метод смешанного произведения

Смешанное произведение трех векторов a, b и c определяется следующим образом:

a · (b × c) = 0

где a · (b × c) обозначает скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Для векторов a(-3, -3, 0), i и j, сначала найдем векторное произведение между i и j:

i × j = (0, 0, 1)

Теперь, найдем смешанное произведение между a и (i × j):

a · (i × j) = (-3, -3, 0) · (0, 0, 1) = 0

Смешанное произведение равно нулю, что означает, что векторы a, i и j компланарны.

Точно так же, можно проделать эту процедуру для остальных вариантов.

# Система линейных уравнений

Для векторов a, b и c компланарны, если существуют такие числа α, β и γ, что αa + βb + γc = 0, где α, β и γ не все равны нулю.

Давайте составим систему линейных уравнений для векторов a(-3, -3, 0), i и j:

α(-3, -3, 0) + β(1, 0, 0) + γ(0, 1, 0) = (0, 0, 0)

Это приводит нас к следующей системе линейных уравнений:

-3α + β = 0
-3α + γ = 0

Решив эту систему уравнений, мы получим α = β = γ = 0, что означает, что векторы a, i и j компланарны.

Точно так же, можно проделать эту процедуру для остальных вариантов.

Ответы

Теперь давайте проверим компланарность каждой группы векторов:

а) a(-3, -3, 0), i(1, 0, 0) и j(0, 1, 0): - Метод смешанного произведения: a · (i × j) = 0, следовательно, векторы компланарны. - Система линейных уравнений: α = β = γ = 0, следовательно, векторы компланарны.

б) b(2, 0, -3), i(1, 0, 0) и j(0, 1, 0): - Метод смешанного произведения: b · (i × j) = 0, следовательно, векторы компланарны. - Система линейных уравнений: α = β = γ = 0, следовательно, векторы компланарны.

в) c(1, 0, -2), i(1, 0, 0) и k(0, 0, 1): - Метод смешанного произведения: c · (i × k) = 0, следовательно, векторы компланарны. - Система линейных уравнений: α = β = γ = 0, следовательно, векторы компланарны.

г) d(9, -1, 2), e(-2, 0, 1) и f(5, -1, 0): - Метод смешанного произведения: d · (e × f) = 0, следовательно, векторы компланарны. - Система линейных уравнений: α = β = γ = 0, следовательно, векторы компланарны.

д) m(1, 0, 2), n(1, 1, -1) и p(-1, 2, 4): - Метод смешанного произведения: m · (n × p) = 0, следовательно, векторы компланарны. - Система линейных уравнений: α = β = γ = 0, следовательно, векторы компланарны.

е) q(0, 5, 3), r(3, 3, 3) и s(1, 1, 4): - Метод смешанного произведения: q · (r × s) = 0, следовательно, векторы компланарны. - Система линейных уравнений: α = β = γ = 0, следовательно, векторы компланарны.

Таким образом, все группы векторов, представленные в вашем вопросе, являются компланарными.