Question

Докажите,что если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника Заранее спасибо за помощ))

Answer 1

Пусть даны треугольники ABC и A'B'C', при этом углы A, A' прямые, тогда BC, B'C' — гипотенузы, по условию, BC=B'C'. Пусть также ∠B=∠B'=β. Докажем, что ΔABC=ΔA'B'C'.

Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Поскольку наши треугольники прямоугольные, сумма их острых углов равна 90 градусам. Таким образом, ∠B+∠C=90°, ∠C=90°-∠B=90°-β. Аналогично, ∠C'=90°-∠B'=90°-β. Следовательно, ∠C=∠C'. Это значит, что ΔABC и ΔA'B'C' равны по гипотенузе и двум прилежащим к ней острым углам (BC=B'C', ∠B=∠B', ∠C=∠C'), что и требовалось доказать.

Answer 2

Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и DEF.

По условию, гипотенуза треугольника ABC равна гипотенузе треугольника DEF, обозначим их как AB и DE соответственно.

Также, острый угол треугольника ABC равен острому углу треугольника DEF, обозначим их как ∠C и ∠F соответственно.

Нам нужно доказать, что гипотенуза треугольника DEF равна гипотенузе треугольника ABC, то есть DE = AB, и острый угол треугольника DEF равен острому углу треугольника ABC, то есть ∠F = ∠C.

Для доказательства этого, мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников.

1. Гипотенуза треугольника ABC равна гипотенузе треугольника DEF. Известно, что гипотенуза треугольника ABC равна AB. По свойству прямоугольного треугольника, гипотенуза противоположна прямому углу. То есть, ∠BAC = 90°. Аналогично, гипотенуза треугольника DEF равна DE. По свойству прямоугольного треугольника, гипотенуза противоположна прямому углу. То есть, ∠EDF = 90°. Так как гипотенузы равны и прямые углы равны, то треугольники ABC и DEF подобны по трём сторонам. По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны. То есть, AB/DE = BC/EF = AC/DF. Поскольку AB/DE = 1 (так как AB = DE), то BC/EF = AC/DF. По свойству прямоугольных треугольников, острый угол противоположен катету. То есть, ∠ABC = ∠DFE. Так как углы противоположны равным сторонам, то ∠ABC = ∠DFE = 90°. Таким образом, гипотенуза треугольника DEF равна гипотенузе треугольника ABC, то есть DE = AB.

2. Острый угол треугольника DEF равен острому углу треугольника ABC. Мы уже доказали, что ∠ABC = ∠DFE = 90°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то острый угол треугольника ABC равен ∠ACB. Аналогично, острый угол треугольника DEF равен ∠EDF. Так как ∠ACB = ∠EDF и ∠ABC = ∠DFE, то острый угол треугольника DEF равен острому углу треугольника ABC, то есть ∠F = ∠C.

Таким образом, мы доказали, что если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то гипотенуза и острый угол второго треугольника также равны гипотенузе и острому углу первого треугольника.