Question

в правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 1, а боковое ребро равно корень из 5, К-центр грани АА1В1В. Найдите угол между прямой КС и плоскостью основания.

Answer 1

Правильной призмой называется прямая призма, поэтому ребро это и есть высота призмы: отметим точку К в цетре грани АА1В1В. проведем линию через точку К и С

опустим от точки К перпендикуляр на сторону АВ точка L и соединим ее с точкой С. получается прямоугольный треугольник(известен только катет половина ребра √5/2)

в квадрате АВСD отмечена точа L на середине стороны АВ..соединим ее с точкой С, получается еще один прямоугольный треугольник ( с катетом: 0,5 и 1)

отсюда найдем гипотенузу .. 1 + 0,25  = 1,25 = √5/2 (она же катет в предыдущем прямоугольном треугольнике) получается катеты равны, угол между прямой и основанием равен 45 градусам.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти угол между прямой КС и плоскостью основания четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1.

Шаг 1: Найдем вектора нормали плоскости основания

Для начала, найдем векторы нормали к плоскостям основания.

Вектор нормали к плоскости ABCD будет параллелен векторному произведению двух сторон этой плоскости. Рассмотрим стороны AB и AD:

AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0) AD = D - A = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0)

Теперь найдем векторное произведение AB и AD:

AB x AD = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0, 0, 1)

Получили вектор нормали к плоскости ABCD равный (0, 0, 1).

Аналогично, найдем вектор нормали к плоскости A1B1C1D1. Рассмотрим стороны A1B1 и A1D1:

A1B1 = B1 - A1 = (1, 0, √5) - (0, 0, √5) = (1, 0, 0) A1D1 = D1 - A1 = (0, 1, √5) - (0, 0, √5) = (0, 1, 0)

Теперь найдем векторное произведение A1B1 и A1D1:

A1B1 x A1D1 = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0, 0, 1)

Получили вектор нормали к плоскости A1B1C1D1 равный (0, 0, 1).

Шаг 2: Найдем направляющий вектор прямой КС

Направляющий вектор прямой КС будет параллелен вектору, соединяющему центр грани АА1В1В (то есть точку К) и точку С.

Вектор КС = С - К

Так как К - центр грани АА1В1В, то его координаты равны (0, 0, √5).

Теперь найдем вектор КС:

КС = (x_с - x_к, y_с - y_к, z_с - z_к) = (1 - 0, 0 - 0, √5 - √5) = (1, 0, 0)

Получили направляющий вектор прямой КС, равный (1, 0, 0).

Шаг 3: Найдем угол между вектором нормали плоскости основания и направляющим вектором прямой

Для нахождения угла между вектором нормали плоскости основания и направляющим вектором прямой, воспользуемся формулой:

cos(θ) = (Н * P) / (|Н| * |P|)

где Н - вектор нормали плоскости, P - направляющий вектор прямой.

|Н| - модуль вектора Н |P| - модуль вектора P

Подставим значения:

cos(θ) = ((0, 0, 1) * (1, 0, 0)) / (|(0, 0, 1)| * |(1, 0, 0)|) = (0 * 1 + 0 * 0 + 1 * 0) / (sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) * sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2)) = 0 / (1 * 1) = 0

Так как cos(θ) равен 0, то угол θ равен 90 градусов.

Ответ: Угол между прямой КС и плоскостью основания равен 90 градусов.