Question

Докажите что в треугольнике медиана не меньше высоты проведённой из той же вершины

Answer 1

Медиана и высота, проведенные из одной вершины, образуют прямоугольный треугольник, в котором высота - катет, медиана - гипотенуза.
Гипотенуза всегда больше катета, поэтому медиана больше высоты.
Исключение составляет равнобедренный треугольник, в котором высота и медиана, проведенные к основанию, совпадают, значит равны.
Поэтому медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.   

Answer 2

Треугольник, медиана и высота

Для доказательства того, что медиана треугольника не меньше высоты, проведенной из той же вершины, рассмотрим следующие факты:

1. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. 2. Высота треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной и перпендикулярный этой стороне.

Доказательство

Предположим, что в треугольнике медиана меньше высоты, проведенной из той же вершины. Для доказательства этого утверждения рассмотрим два случая:

Случай 1: Медиана меньше высоты

Пусть AB - сторона треугольника, C - вершина, из которой проведена медиана и высота. Пусть M - середина стороны AB, H - точка пересечения медианы и высоты.

Так как медиана меньше высоты, то MH < CH.

Теперь рассмотрим треугольник MCH. В этом треугольнике угол MCH является прямым углом, так как высота перпендикулярна стороне AB. Также угол MCH является острым углом, так как медиана делит сторону AB пополам.

Из этих двух фактов следует, что угол MCH острый и прямой одновременно, что невозможно. Таким образом, предположение о том, что медиана меньше высоты, является ложным.

Случай 2: Медиана больше высоты

Пусть AB - сторона треугольника, C - вершина, из которой проведена медиана и высота. Пусть M - середина стороны AB, H - точка пересечения медианы и высоты.

Теперь рассмотрим треугольник MCH. В этом треугольнике угол MCH является прямым углом, так как высота перпендикулярна стороне AB. Также угол MCH является тупым углом, так как медиана делит сторону AB пополам.

Из этих двух фактов следует, что угол MCH тупой и прямой одновременно, что невозможно. Таким образом, предположение о том, что медиана больше высоты, также является ложным.

Вывод

Из доказательства следует, что медиана треугольника не может быть одновременно меньше и больше высоты, проведенной из той же вершины. Таким образом, медиана и высота равны в треугольнике, проведенные из одной и той же вершины.