Question

На координатной плоскости заданы точки: А(1;6), В(6;13), С(16;3). Найдите абсциссу точки D, если вектор AD равен вектору АВ+АС.

Answer 1

AB(5;7)

AC(15;-3)

AB +AC (20;4)

AD(x-1;y-6)

x-1=20, x = 21

y-6=4, y =10

D(21;10)

Ответ: 21

Answer 2

Решение

Для начала найдем векторы \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

1. Вектор \(\overrightarrow{AD}\) можно найти как разность координат точек \(D\) и \(A\):

\[ \overrightarrow{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A) \]

2. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно найти как разность координат точек \(B\) и \(A\):

\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]

3. Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно найти как разность координат точек \(C\) и \(A\):

\[ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) \]

Далее, по условию задачи, вектор \(\overrightarrow{AD}\) равен вектору \(\overrightarrow{AB}\) плюс вектору \(\overrightarrow{AC}\). Это можно записать в виде уравнения:

\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \]

Теперь найдем координаты точки \(D\), зная, что вектор \(\overrightarrow{AD}\) равен вектору \(\overrightarrow{AB}\) плюс вектору \(\overrightarrow{AC}\).

Расчеты

Подставим известные значения в уравнение векторов:

\[ (x_D - x_A, y_D - y_A) = (x_B - x_A, y_B - y_A) + (x_C - x_A, y_C - y_A) \]

Распишем координаты точек \(A\), \(B\) и \(C\):

\(A(1;6)\), \(B(6;13)\), \(C(16;3)\)

Теперь подставим координаты точек в уравнение:

\[ (x_D - 1, y_D - 6) = (6 - 1, 13 - 6) + (16 - 1, 3 - 6) \]

Вычислим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\[ \overrightarrow{AB} = (6 - 1, 13 - 6) = (5, 7) \]

\[ \overrightarrow{AC} = (16 - 1, 3 - 6) = (15, -3) \]

Теперь можем записать уравнение в виде системы:

\[ (x_D - 1, y_D - 6) = (5, 7) + (15, -3) \]

Сложим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\[ (5, 7) + (15, -3) = (20, 4) \]

Подставим это значение обратно в систему:

\[ (x_D - 1, y_D - 6) = (20, 4) \]

Теперь найдем координаты точки \(D\):

\[ (x_D, y_D) = (20 + 1, 4 + 6) = (21, 10) \]

Таким образом, координаты точки \(D\) равны \(D(21;10)\).

Ответ

Ответ: Координаты точки \(D\) равны \(D(21;10)\).