Question

Найдите косинус угла между плоскостями квадрата ABCD и равностороннего треугольника ABM, если диагональ квадрата равна 4 см и расстояние от точки M до стороны DC равно 5 см

Answer 1

В условии явно не отобразилось √2 при значении диагонали. .  

Правильное условие задачи:

Найдите косинус угла между плоскостями квадрата ABCD и равностороннего треугольника ABM, если диагональ квадрата равна 4√2 см и расстояние от точки M до стороны DC равно 5 см.

Решение. (см. рисунок 1) 

Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника с острым углом 45°. Поэтому сторона квадрата равна АВ=4√2•sin 45°=4 (cм).

Искомый угол - угол между высотой МН правильного треугольника АМН  и отрезком КН, проведенными перпендикулярно к середине  АВ. 

МН= АВ•sin60°=4•√3/2=2√3 

Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой. 

По т. о трёх перпендикулярах МК ⊥ - ⇒ это расстояние от М до CD, равное 5 см. По т.косинусов  

cos∠MHK=(KM²-KN²+MH²):(-2•KH•MH)

cos∠MHK=(25- 16-12):(-2•4•2√3)=√3/16

              * * *

Решение по данному в вопросе условию: 

Если диагональ квадрата равна 4 см,  то, т.к. она делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренный с острым углом 45°,  его сторона равна 4•sin45°=2√2. 

Искомый угол - угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к одной точке на стороне АВ. (на линии их пересечения), т.е. это угол между высотой МК треугольника АМВ и отрезком КН, проведенным через  середины сторон АВ и СD квадрата, т.к. МК⊥АВ, и НК⊥АВ.

  АВ - общая для квадрата и равностороннего треугольника, и 

МК=АВsin 60°=2√2•√3/2=√6

Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой. 

Т.к. КН ⊥СD,  то по т. о трех перпендикулярах  МК⊥CD, ⇒ МК=5.

По т.косинусов из ∆ МКН 

cos ∠MKH=(MH²-MK²-KH²)² (- 2MK•KH)

cos ∠MKH=(25-8-6): (-2•2√12)

cos ∠MKH= -11/8√3= - 0,7939 Это косинус тупого угла. 

По данному решению рисунок в приложении 2. 

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между двумя плоскостями:

cos(θ) = (n₁ * n₂) / (|n₁| * |n₂|)

где n₁ и n₂ - нормальные векторы плоскостей.

Плоскость квадрата ABCD имеет два нормальных вектора: n₁ = (1, 0, 0) и n₂ = (0, 1, 0). Плоскость равностороннего треугольника ABM имеет нормальный вектор n₃, который можно найти с помощью векторного произведения двух векторов: AB и AM.

Вектор AB можно найти как разность координат точек A и B: AB = (xA - xB, yA - yB, zA - zB) = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (4, 0, 0)

Вектор AM можно найти как разность координат точек A и M: AM = (xA - xM, yA - yM, zA - zM) = (4 - 0, 0 - 5, 0 - 0) = (4, -5, 0)

Теперь найдем векторное произведение AB и AM: n₃ = AB x AM = (0, 0, 4) x (4, -5, 0) = (0 * 0 - 4 * -5, 0 * 0 - 4 * 4, 0 * -5 - 0 * 4) = (20, -16, 0)

Таким образом, нормальный вектор плоскости равностороннего треугольника ABM равен n₃ = (20, -16, 0).

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла между плоскостями:

cos(θ) = ((1, 0, 0) * (20, -16, 0)) / (|(1, 0, 0)| * |(20, -16, 0)|)

Выполним вычисления:

(1, 0, 0) * (20, -16, 0) = 1 * 20 + 0 * -16 + 0 * 0 = 20 |(1, 0, 0)| = √(1² + 0² + 0²) = √1 = 1 |(20, -16, 0)| = √(20² + (-16)² + 0²) = √(400 + 256 + 0) = √656 ≈ 25.61

Подставим значения в формулу:

cos(θ) = 20 / (1 * 25.61) ≈ 0.78

Таким образом, косинус угла между плоскостями квадрата ABCD и равностороннего треугольника ABM равен примерно 0.78.