Question

Докажите что в треугольнике 1)против большей стороны лежит больший угол 2)обратно против большего угла лежит большая сторона

Answer 1

Доказательство:
1) Отложим на стороне AB отрезок AD равный стороне AC. Так как AD<AB, то точка D лежит между точками A и B. Следовательно, угол 1 являетсячастью угла С, значит, угол С > угла 1. Угол 2 - внешний угол треугольника BDC, поэтому угол 2>угла B. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, угол C>угла 1, угол 1=углу 2, угол 2>угла B. Отсюда следует что угол С > угла B.
2) Пусть в треугольнике АВС угол С>угла В. Докаже что АВ>АС.
Предположим что это не так. тогда либо АВ=АС, либо АВ<АС. В первом случае треугольник АВС равнобедренный и, значит угол С = углу В. Во втором случае угол В> угла С(против большей стороны лежит и больший угол из доказательства 1). И то и другое противоречит условию: угол С > угла В. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно АВ>ВС. Теорема доказана

Answer 2

Чтобы доказать, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а обратно, против большего угла лежит большая сторона, мы можем использовать неравенство треугольника и свойства синуса.

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Формально, для треугольника со сторонами a, b и c, неравенство треугольника записывается следующим образом:

a + b > c b + c > a c + a > b

Свойства синуса

Свойства синуса позволяют нам установить соотношение между сторонами треугольника и соответствующими углами. Формально, для треугольника со сторонами a, b и c и противолежащими углами A, B и C, свойства синуса записываются следующим образом:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Доказательство первого утверждения

Предположим, что у нас есть треугольник ABC, где сторона AB является наибольшей стороной. Пусть угол A является наименьшим углом треугольника.

Используя свойства синуса, мы можем записать следующее соотношение:

AB/sin(A) = BC/sin(B) = AC/sin(C)

Так как угол A является наименьшим углом, sin(A) будет наименьшим значением из трех синусов.

Предположим, что синус угла B больше синуса угла C. Это означает, что BC/sin(B) будет наибольшим значением из трех отношений.

Из свойств синуса следует, что AB/sin(A) должно быть меньше или равно BC/sin(B). Но согласно неравенству треугольника, AB должно быть больше BC.

Это противоречие показывает, что наше предположение было неверным, и синус угла B не может быть больше синуса угла C.

Таким образом, мы можем заключить, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство второго утверждения

Доказательство второго утверждения можно провести аналогичным образом.

Предположим, что у нас есть треугольник ABC, где угол A является наибольшим углом. Пусть сторона AB является наименьшей стороной треугольника.

Используя свойства синуса, мы можем записать следующее соотношение:

AB/sin(A) = BC/sin(B) = AC/sin(C)

Так как угол A является наибольшим углом, sin(A) будет наибольшим значением из трех синусов.

Предположим, что BC/sin(B) больше AC/sin(C). Это означает, что AC/sin(C) будет наименьшим значением из трех отношений.

Из свойств синуса следует, что AB/sin(A) должно быть больше или равно AC/sin(C). Но согласно неравенству треугольника, AB должно быть меньше AC.

Это противоречие показывает, что наше предположение было неверным, и BC/sin(B) не может быть больше AC/sin(C).

Таким образом, мы можем заключить, что обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а обратно, против большего угла лежит большая сторона. Это свойство треугольника можно использовать для сравнения сторон и углов в треугольнике.