Question

В Прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 АВ=АА1=а, АД=2а. На сребрах СС1 и АД взяты соответственно точки P и Q - такие, что CP:CC1=AQ:AD =1:3, а на ребрах АВ и А1В1 взяты соответственно точки R и V- середины этих ребер. Найти расстояние между В1С1 и а) PQ б)PR в)PV

Answer 1

Давайте, я всё таки для точки V покажу, как делать. Пусть M на ВВ1, и BM = CP; то есть PM II B1C1. Прямая В1С1 II плоскости PMV. Расстояние между прямыми PV и B1C1 - это расстояние от любой точки прямой B1C1 до плоскости PMV. Проще всего найти расстояние от В1 до VM, то есть высоту к гипотенузе прямоугольного треугольника B1VM c катетами B1V = a/2 и B1M = 2a/3; (к слову, это "египетский" треугольник, но это случайность, в двух других случаях ничего "египетского" нет :) ) Легко найти VM = 5a/6; и нужное расстояние равно (a/2)*(2a/3)/(5a/6) = 2a/5;
Для точки R все так же просто. RM пересекает продолжение А1В1 в точке Е, и легко найти что ВЕ = а; (из подобия RMB и B1EM); MB1 = 2a/3; отсюда ME = a√13/3; и высота В1МЕ равна a*(2a/3)/(a√13/3) = 2a/√13;

Для точки Q этим же способом легко найти ответ 2a/√10; я покажу, как это находится с помощью векторно-координатного метода. 
Любая прямая полностью задается вектором вдоль неё и одной точкой, через которую она проходит. 
С другой стороны, расстояние между не параллельными прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, каждая из которых содержит одну из этих прямых (такая пара плоскостей всегда есть и всегда только одна, если прямые не параллельны и не пересекаются). 
Плоскость задается однозначно точкой, через которую она проходит и нормальным вектором (то есть вектором, перпендикулярным плоскости). Если плоскости параллельны, у них - очевидно - один и тот же нормальный вектор. Поэтому задача стоит такая - надо найти вектор, перпендикулярный направляющим векторам обеих прямых. Такой вектор отлично известен - это векторное произведение направляющих векторов. 
Таким образом, нормальный вектор обеих параллельных плоскостей строится так - берутся две точки на одной прямой и на другой, строятся два вектора вдоль прямых, находится их векторное произведение и нормируется (то есть делится на свой модуль). Получился единичный вектор, перпендикулярный обеим прямым - и обеим плоскостям, содержащим скрещивающиеся прямые. Теперь, чтобы найти расстояние между двумя этими плоскостями, достаточно взять любые две точки на разных плоскостях, построить вектор с началом в одной точке и концом в другой, и скалярно умножить на построенный единичный вектор (то есть найти проекцию отрезка, соединяющего две произвольные точки двух параллельных плоскостей на прямую, перпендикулярную обеим плоскостям). 
Выполнение этой программы действий для прямых В1С1 и PQ выглядит так.
B1C1 = (2a,0,0); QP = (4a/3,a,a/3);
векторное произведение B1C1XQP = (0,-1,3)*(2a^2/3); (я вынес общий множитель за скобки, так как для вычисления единичного вектора n = B1C1XQP/IB1C1XQPI его можно просто отбросить.
n = (0, -1/√10, 3/√10); 
теперь можно взять любой (еще раз - любой в смысле любой) вектор с началом на одной плоскости и концом на другой и скалярно умножить на n, получится ответ (знак при этом не имеет значения, нужна абсолютная величина).
PB1 = (2a, 0, -2a/3); откуда сразу ответ 2a/√10;

Answer 2

а) Для нахождения расстояния между точками P и Q, нужно вычислить длину отрезка PQ.

Из условия известно, что CP:CC1 = AQ:AD = 1:3. Это означает, что отношение длин отрезков CP и CC1 равно отношению длин отрезков AQ и AD, и это отношение равно 1:3.

Также известно, что AD = 2а, поэтому AQ = AD/3 = 2а/3.

Из треугольника CPQ можно найти отношение длин отрезков CP и PQ с помощью теоремы Пифагора:

(CP)^2 + (PQ)^2 = (CQ)^2.

Так как CP:CC1 = 1:3, то можно представить CP как 1/4 от CC1, и CQ как 3/4 от CC1. Тогда уравнение примет вид:

(1/4 * CC1)^2 + (PQ)^2 = (3/4 * CC1)^2.

Раскрывая скобки и упрощая, получим:

CC1^2/16 + PQ^2 = 9CC1^2/16.

Переносим все слагаемые с CC1 на одну сторону:

PQ^2 = 9CC1^2/16 - CC1^2/16 = 8CC1^2/16 = CC1^2/2.

Теперь можем выразить PQ:

PQ = sqrt(CC1^2/2) = CC1/sqrt(2).

Ответ: расстояние между точками P и Q равно CC1/sqrt(2).

б) Для нахождения расстояния между точками P и R, нужно вычислить длину отрезка PR.

Из условия известно, что R - середина отрезка АВ, поэтому AR = 1/2 * AB = 1/2 * а.

Также из условия известно, что CP:CC1 = 1:3, поэтому CP = 1/4 * CC1.

Из треугольника CPR можно найти отношение длин отрезков CP и PR с помощью теоремы Пифагора:

(CP)^2 + (PR)^2 = (CR)^2.

Подставляем значения:

(1/4 * CC1)^2 + (PR)^2 = (AR)^2.

Упрощаем:

CC1^2/16 + (PR)^2 = а^2/4.

Выражаем PR:

(PR)^2 = а^2/4 - CC1^2/16 = (4а^2 - CC1^2)/16.

PR = sqrt((4а^2 - CC1^2)/16) = sqrt(4а^2 - CC1^2)/4.

Ответ: расстояние между точками P и R равно sqrt(4а^2 - CC1^2)/4.

в) Для нахождения расстояния между точками P и V, нужно вычислить длину отрезка PV.

Из условия известно, что V - середина отрезка А1В1, поэтому AV1 = 1/2 * A1V1 = 1/2 * а.

Также из условия известно, что CP:CC1 = 1:3, поэтому CP = 1/4 * CC1.

Из треугольника CPV можно найти отношение длин отрезков CP и PV с помощью теоремы Пифагора:

(CP)^2 + (PV)^2 = (CV)^2.

Подставляем значения:

(1/4 * CC1)^2 + (PV)^2 = (AV1)^2.

Упрощаем:

CC1^2/16 + (PV)^2 = а^2/4.

Выражаем PV:

(PV)^2 = а^2/4 - CC1^2/16 = (4а^2 - CC1^2)/16.

PV = sqrt((4а^2 - CC1^2)/16) = sqrt(4а^2 - CC1^2)/4.

Ответ: расстояние между точками P и V равно sqrt(4а^2 - CC1^2)/4.