Question

Пожалуйста, решите задачу! Основание равнобедренного треугольника равно 18,2, косинус угла при вершине равен 21/29. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие - на боковых сторонах. Найти площадь прямоугольника, если известно, что одна его сторона вдвое больше другой.

Answer 1

1. Сторона прямоугольника, параллельная основанию a, пусть равна x*a. Тогда вторая сторона прямоугольника, параллельная высоте треугольника h, равна (1 - х)*h, а площадь прямоугольника равна Sp = a*h*x*(1-x) = 2*S*x*(1 -x) (где S - площадь треугольника).

Все эти простенькие соотношения автоматически следуют из того, что боковая сторона (пусть она равна b, в решении она не нужна) треугольника делится вершиной прмоугольника на отрезки (считая от вершины, противоположной основанию) b*x и, сответственно, b*(1-x). 

2. В условии задано, что отношение a*x и h*(1-x) равно 2, но не сказано, какая больше. Это означает, что h*(1 - x)/(a*x) = k; где к может принимать значения 2 или 1/2.

Отсюда легко получить x = 1/(k*a/h + 1);

если подставить это в выражение для площади  Sp = a*h*x*(1-x); получается

Sp = a^2*k/(k*a/h + 1)^2; 

3. В полученном выражении известно все, кроме h. Но в условии задан косинус угла при вершине (я обозначу его α). 

cos(α) = 21/29; отсюда sin(α) = 20/29; (тут - Пифагорова тройка 20,21,29)

Легко видеть, что (a/2)/h = tg(α/2) = sin(α)/(1 + cos(α)) = 2/5;

и выражение для площади прямоугольника принимает вид

Sp = a^2*k/(2*k*tg(α/2) + 1)^2; ну, вот он - ответ.

18,2^2 = 331,24; 2*tg(α/2) = 4/5;

при k = 2 

Sp = 331,24*2/(8/5 + 1)^2 = 98;

при к = 1/2

Sp = 331,24*(1/2)/(2/5 + 1)^2 = 84,5;

Answer 2

Давайте решим эту задачу постепенно:

Шаг 1: Найдем высоту равнобедренного треугольника. Так как косинус угла при вершине равен 21/29, мы можем использовать косинусную теорему для нахождения высоты треугольника. Пусть h - высота треугольника. Тогда косинус угла при вершине можно выразить следующим образом:

cos(angle) = h / основание 21/29 = h / 18.2

Теперь решим эту пропорцию, чтобы найти значение h:

21 * 18.2 = 29 * h 382.2 = 29h h = 382.2 / 29 h ≈ 13.179

Шаг 2: Найдем длины боковых сторон треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то длины боковых сторон равны. Пусть a - длина боковой стороны. Используем теорему Пифагора:

a^2 = (1/2 * основание)^2 + h^2 a^2 = (1/2 * 18.2)^2 + 13.179^2 a^2 = 165.8068 a ≈ 12.884

Шаг 3: Найдем стороны прямоугольника. Пусть x - длина более длинной стороны прямоугольника, и y - длина более короткой стороны. Задача говорит, что одна сторона прямоугольника вдвое больше другой. Мы можем записать это в виде уравнения:

x = 2y

Шаг 4: Найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину и ширину. Длина прямоугольника - x, а ширина - y. Тогда площадь равна:

Площадь = x * y

Но у нас есть уравнение x = 2y, поэтому мы можем записать площадь в виде:

Площадь = 2y * y = 2y^2

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, мы должны найти значение y.

Шаг 5: Найдем значение y. Используем свойство треугольника, что сумма двух боковых сторон больше основания:

2a + a > основание 2 * 12.884 + 12.884 > 18.2 25.768 + 12.884 > 18.2 38.652 > 18.2

Таким образом, наше предположение о том, что a = 12.884 является правильным.

Теперь, используем уравнение x = 2y:

x = 2y 12.884 = 2y y = 12.884 / 2 y ≈ 6.442

Шаг 6: Найдем площадь прямоугольника. Используем уравнение для площади:

Площадь = 2y^2 Площадь = 2 * 6.442^2 Площадь ≈ 83.05

Ответ: Площадь прямоугольника составляет примерно 83.05 квадратных единиц.