Question

Треугольник со сторонами 5 см, 6 см, 9 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения и его объем.

Answer 1

Рассмотрите предложенный вариант.
Обратите внимание, что площадь поверхности складывалась из внешнего и внутреннего конусов, а объём - вычитался соответственно.
Если есть возможность рассмотреть другой вариант, обязательно воспользуйтесь, проверьте.

Answer 2

Вариант решения. 

Примем длину сторон ∆ АВС равными: АВ=9, ВС=6, АС=5. 

АВ² > АС²+ВС² ⇒ ∆ ABC  тупоугольный с тупым углом С. 

Тело вращения образуется при вращении треугольника вокруг АС. 

Искомая площадь состоит из суммы площадей боковых поверхностей конуса с образующей АВ и конуса с образующей ВС и общим радиусом ВО. 

Радиус ОВ - высота ∆ АОВ, проведенная к продолжению АС. Найдем  её из площади ∆ АВС. 

По ф. ГеронаS ABC=√(p•(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр треугольника, a, b, c- его стороны. 

р=(5+9+6):2=10

S (∆АВС)=√(10•5•4•1)=√200=10√2, 

По формуле S=a•h:2   

BO•AC:2=10√2

OB=2S:AC=20√2:5=4√2

r=OB=4√2

 Пусть полная площадь тела вращения=S, площадь боковой поверхности конуса с образующей АВ=S1, с образующей ВС=S2

S=S1+S2

S1=πrL=π4√2•9=36√2π см² 

S2=π4√2•6=24√2π см² 

S=60√2π см² 

Объём тела, образованного вращением ∆ АВС вокруг стороны АС, равен разности объёмов конуса с образующей АВ и конуса с тем же радиусом  и образующей ВС. 

Примем объем конуса с образующей АВ =V1,  объём конуса с образующей СВ=V2, объем тела вращения =V

V=V1-V2

По т.Пифагора АО=√(AB²-OB²)=√(81-32)=√49=7

CO=AO-AC=2

V1=πr*•h:3=π•32•7:3=224π/3 см³ 

V2=π•32•2:3=64π/3 см³ 

V=π•(224-64)/3=160π/3 см³ 

Answer 3

Для того чтобы найти площадь поверхности тела вращения и его объем, мы можем использовать формулы для поверхности и объема тела вращения.

Площадь поверхности тела вращения:

Площадь поверхности тела вращения можно найти с помощью формулы:

S = 2πrh

где S - площадь поверхности, π - число Пи (приближенное значение 3.14159), r - радиус окружности, h - высота тела вращения.

В данном случае, меньшая сторона треугольника является основанием тела вращения, а другие две стороны являются радиусами окружности. Значит, радиус окружности равен половине суммы двух других сторон треугольника:

r = (6 + 9) / 2 = 15 / 2 = 7.5 см

Высота тела вращения равна длине меньшей стороны треугольника:

h = 5 см

Теперь мы можем подставить значения радиуса и высоты в формулу для площади поверхности:

S = 2πrh = 2 * 3.14159 * 7.5 * 5 ≈ 235.62 см²

Таким образом, площадь поверхности тела вращения составляет около 235.62 см².

Объем тела вращения:

Объем тела вращения можно найти с помощью формулы:

V = πr²h

где V - объем тела, π - число Пи (приближенное значение 3.14159), r - радиус окружности, h - высота тела вращения.

Мы уже знаем значения радиуса и высоты:

r = 7.5 см h = 5 см

Подставим значения в формулу для объема:

V = 3.14159 * 7.5² * 5 ≈ 882.08 см³

Таким образом, объем тела вращения составляет около 882.08 см³.

Итак, площадь поверхности тела вращения равна примерно 235.62 см², а его объем составляет примерно 882.08 см³.