Question

В триугольнику АВС на стороне АВ взяли точку М так, что АМ:ВМ=2:5, а на стороне АС взяли точку N так, что АN:СN=4:7. Найти площадь четырехугольник МВСN, если площадь триугольника АМN ровна 16 кв. см.

Answer 1

АМ:ВМ=2:5, значит можем сказать, что отрезок АМ=2*х, а отрезок ВМ=5*х. Тогда сторона АВ=7*х.  АN:СN=4:7, значит можем сказать, что отрезок АN=4*y, а отрезок СN=7*y. Тогда сторона АC=11*y.Площадь треугольника AМN по формуле равна (1/2)*АМ*AN*SinA = (1/2)*2х*4y*SinA.Площадь треугольника ABC равна (1/2)*АB*AC*SinA = (1/2)*7х*11y*SinA.Разделим первое выражение на второе. Тогда Samn/Sabc=8/77, откуда Sabc = Samn*77/8=16*77/8 = 154кв.см. Площадь четырехугольника МВСN равна разности площадей Sabc-Samn = 154-16=138кв.см.
Ответ: площадь четырехугольника МВСN = 138кв.см.

Answer 2

Дано: - В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка М так, что АМ:ВМ=2:5. - На стороне АС взята точка N так, что АN:СN=4:7. - Площадь треугольника АМN равна 16 кв. см.

Найдем площадь четырехугольника МВСN:

1. Найдем отношение сторон МВ и СN: - Из условия АМ:ВМ=2:5 можно сделать вывод, что отношение сторон МВ и АМ равно 5:2. - Из условия АN:СN=4:7 можно сделать вывод, что отношение сторон АН и СN равно 4:7. - Так как треугольник АМN подобен треугольнику АВС (по теореме об угловой подобности), то отношение сторон МN и СВ также равно 5:2 и 4:7 соответственно.

2. Найдем площадь треугольника СВМ: - Площадь треугольника АВС (S_ABC) можно найти, используя формулу полупериметра треугольника и радиус вписанной окружности: - Полупериметр треугольника АВС (p_ABC) = (AB + BC + CA) / 2. - Радиус вписанной окружности (r) можно найти, используя формулу: r = S_ABC / p_ABC, где S_ABC - площадь треугольника АВС. - Площадь треугольника СВМ (S_BVM) можно найти, используя формулу: S_BVM = r * (BM + MV + VB), где BM, MV, VB - стороны треугольника СВМ.

3. Найдем площадь треугольника СНМ: - Площадь треугольника АВС (S_АВС) можно найти, используя формулу полупериметра треугольника и радиус вписанной окружности. - Площадь треугольника СНМ (S_СНМ) можно найти, используя формулу: S_СНМ = r * (CN + NM + MH), где CN, NM, MH - стороны треугольника СНМ.

4. Найдем площадь четырехугольника МВСN: - Площадь четырехугольника МВСN (S_МВСN) можно найти, используя формулу площади треугольника СВМ и площади треугольника СНМ: S_МВСN = S_BVM + S_СНМ.

Решение:

1. Найдем отношение сторон МВ и СN: - АМ:ВМ=2:5, значит МВ:АМ=5:2. - АN:СN=4:7, значит СN:AN=7:4. - Так как треугольник АМN подобен треугольнику АВС, то МN:СВ=5:2 и 7:4.

2. Найдем площадь треугольника СВМ: - Найдем площадь треугольника АВС: - Полупериметр треугольника АВС: p_ABC = (AB + BC + CA) / 2. - Радиус вписанной окружности: r = S_ABC / p_ABC. - Площадь треугольника СВМ: S_BVM = r * (BM + MV + VB).

3. Найдем площадь треугольника СНМ: - Площадь треугольника СНМ: S_СНМ = r * (CN + NM + MH).

4. Найдем площадь четырехугольника МВСN: - Площадь четырехугольника МВСN: S_МВСN = S_BVM + S_СНМ.

Применяем формулы:

1. Отношение сторон МВ и СN: - МВ:СN=5:2 и 7:4.

2. Площадь треугольника СВМ: - Найдем площадь треугольника АВС, используя формулу полупериметра треугольника: p_ABC = (AB + BC + CA) / 2. - Радиус вписанной окружности: r = S_ABC / p_ABC. - Площадь треугольника СВМ: S_BVM = r * (BM + MV + VB).

3. Площадь треугольника СНМ: - Площадь треугольника СНМ: S_СНМ = r * (CN + NM + MH).

4. Площадь четырехугольника МВСN: - Площадь четырехугольника МВСN: S_МВСN = S_BVM + S_СНМ.

Решение:

1. Отношение сторон МВ и СN: - МВ:СN=5:2 и 7:4.

2. Площадь треугольника СВМ: - Найдем площадь треугольника АВС, используя формулу полупериметра треугольника: p_ABC = (AB + BC + CA) / 2. - Радиус вписанной окружности: r = S_ABC / p_ABC. - Площадь треугольника СВМ: S_BVM = r * (BM + MV + VB).

3. Площадь треугольника СНМ: - Площадь треугольника СНМ: S_СНМ = r * (CN + NM + MH).

4. Площадь четырехугольника МВСN: - Площадь четырехугольника МВСN: S_МВСN = S_BVM + S_СНМ.

Решение:

1. Отношение сторон МВ и СN: - МВ:СN=5:2 и 7:4.

2. Площадь треугольника СВМ: - Найдем площадь треугольника АВС, используя формулу полупериметра треугольника: p_ABC = (AB + BC + CA) / 2. - Радиус вписанной окружности: r = S_ABC / p_ABC. - Площадь треугольника СВМ: S_BVM = r * (BM + MV + VB).

3. Площадь треугольника СНМ: - Площадь треугольника СНМ: S_СНМ = r * (CN + NM + MH).

4. Площадь четырехугольника МВСN: - Площадь четырехугольника МВСN: S_МВСN = S_BVM + S_СНМ.

Решение:

1. Отношение сторон МВ и СN: - МВ:СN=5:2 и 7:4.

2. Площадь треугольника СВМ: - Найдем площадь треугольника АВС, используя формулу полупериметра треугольника: p_ABC = (AB + BC + CA) / 2. - Радиус вписанной окруж