Question

На сторонах АВ И АД параллелограмма АВСД взяты точки М и N так, что прямые МС и NC разбивают параллелограмм на три равновеликие части. Найдите МN, если ВД равна d

Answer 1

Диагональ АС делит параллелограмм АВСД на два равных треугольника АВС и АДС, значит их площади равны:
Sавc=Sадс
По условию Sмвс=Sамсn=Scnд
Значит Sавс=Sмвс+Sамсn/2=Sмвс+Sмвс/2=3Sмвс/2 или Sавс/Sмвс=3/2
ΔАВС и ΔМВС имеют одинаковые высоты, опущенные из вершины С, значит отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты) Sавс/Sмвс=АВ/МВ=3/2
АВ=3МВ/2
АМ=АВ-МВ=3МВ/2-МВ=МВ/2
АМ/АВ=МВ/2 / 3МВ/2=1/3
Аналогично рассматриваем ΔСАД и ΔСNД:  Sсад/Scnд=3/2, АN/АД=1/3.
Получается, что ΔАМN подобен ΔАВД по 2 пропорциональным сторонам и углу между ними (угол А- общий).
Значит АМ/АВ=АN/АД=МN/ВД=1/3
МN=ВД/3=d/3

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

Таким образом, мы можем сказать, что АВ = DC и AB || DC, а также AD = BC и AD || BC.

Также, мы знаем, что прямые МС и NC разбивают параллелограмм на три равновеликие части. Это означает, что площади треугольников AMN, MNC и NCD равны между собой.

Теперь мы можем использовать эти свойства для нахождения MN. Поскольку AMN, MNC и NCD имеют равные площади, то мы можем сказать, что MN делит площадь параллелограмма пополам.

Таким образом, MN = 0.5 * AD = 0.5d.

Итак, мы нашли, что MN равно половине длины ВД.