Question

на продолжении диагонали AC квадрата ABCD отложены равные отрезки AM и CN.докажите что BNDM ромб

Answer 1

Проведем вторую диагональ квадрата ВD, точку пересечения диагоналей обозначим О. 
Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. 
Т.к. АМ=NC,  то МО=NO. 
В четырехугольнике ВNDM диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Они делят его на 4 прямоугольных треугольника, в которых катеты равны, следовательно, эти треугольники равны, равны их гипотенузы и острые углы, т.е. диагонали - биссектрисы углов четырехугольника MBND. 
 Т.к. накрестлежащие углы при пересечении сторон этого четырехугольника диагоналями ( биссектрисами) равны, то стороны BNDМ - параллельны, ⇒  BNDМ– параллелограмм. 
В параллелограмме ВNDМ стороны равны, его диагонали взаимно перпендикулярны, делят углы пополам, – это признаки ромба. ⇒
ВNDМ - ромб, ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства того, что BNDM является ромбом, мы можем использовать свойства квадрата и свойства параллелограмма.

Свойства квадрата:

1. Все стороны квадрата равны. 2. Все углы квадрата прямые.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны. 2. Противоположные углы параллелограмма равны.

Доказательство:

1. Поскольку AC является диагональю квадрата ABCD, она делит квадрат на два равных треугольника, ABC и ACD. 2. Поскольку AM и CN равны отрезкам, отложенным на продолжении диагонали AC, то AM = CN. 3. Так как AM = CN и AC является диагональю квадрата, то AM = CN = AC/2. 4. Поскольку AC является диагональю квадрата, то AM = CN = AC/2 = AB/2. 5. Из свойств квадрата следует, что AB = BC = CD = AD. 6. Из свойств параллелограмма следует, что AB || CD и BC || AD. 7. Из пункта 5 следует, что AB = CD и BC = AD. 8. Из пункта 6 следует, что AB || CD и BC || AD. 9. Из пунктов 7 и 8 следует, что ABCD является параллелограммом. 10. Из пункта 4 следует, что AM = CN = AB/2. 11. Из пункта 9 следует, что AB = BC = CD = AD. 12. Из пункта 10 следует, что AM = AB/2 = BC/2 = CD/2 = AD/2. 13. Из пункта 11 следует, что AB = BC = CD = AD = 2AM. 14. Из пункта 13 следует, что AB = BC = CD = AD = 2AM = 2CN. 15. Из пунктов 9 и 14 следует, что ABCD является ромбом. 16. Поскольку BNDM является частью ромба ABCD, то