Question

Боковая сторона трапеции ABCD (AB|| CD), равная 5√2 см, образует с большим основанием угол в 45 º . Основания равны 12см и 20см.а) Вычислите площадь трапеции. б) Докажите, что треугольники ABD и BAС имеют равные площади.

Answer 1

А) Проведем высоту ВН.
Sabcd = (AD + BC)/2 · BH
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, ∠ВАН = 45°, ⇒ ∠АВН = 45°, ⇒
             треугольник равнобедренный.
Пусть АН = ВН = x, по теореме Пифагора:
x² + x² = AB²
2x² = 50
x² = 25
x = 5            (x = - 5 не подходит по смыслу задачи)
ВН = 5 см
Sabcd = (20 + 12)/2 · 5 = 16 · 5 = 80 см²

б) В условии задачи ошибка: вероятно, надо доказать равенство площадей ΔABD и ΔDAС.
Площади этих треугольников равны, так как они имеют общее основание AD и одинаковую высоту, равную 5 см.

Answer 2

Дано:

- Боковая сторона трапеции ABCD (AB || CD) равна 5√2 см. - Угол между боковой стороной и большим основанием равен 45º. - Основания равны 12 см и 20 см.

Решение:

a) Вычисление площади трапеции:

Для вычисления площади трапеции можно воспользоваться формулой: S = ((a + b) * h) / 2,

где S - площадь трапеции, a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

В данном случае, основания трапеции равны 12 см и 20 см, соответственно. Нам также необходимо найти высоту трапеции.

Высота трапеции:

Так как угол между боковой стороной и большим основанием равен 45º, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника для нахождения высоты.

В прямоугольном треугольнике ABD (угол ABD = 90º), где AB - гипотенуза, AD - катет, BD - катет, угол между катетом BD и гипотенузой AB равен 45º.

Зная, что BD = 5√2 см (боковая сторона трапеции), мы можем найти AD по теореме Пифагора: AB^2 = AD^2 + BD^2.

AB = 12 см (меньшее основание трапеции).

Подставляя значения в формулу, получаем: 12^2 = AD^2 + (5√2)^2, 144 = AD^2 + 50.

AD^2 = 144 - 50, AD^2 = 94, AD = √94.

Теперь, чтобы найти высоту трапеции, мы можем использовать треугольник ABD, где AD - высота, BD - основание.

Так как треугольник ABD прямоугольный, мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S_ABD = (AD * BD) / 2, S_ABD = (√94 * 5√2) / 2.

Площадь трапеции:

Теперь, имея значение высоты трапеции, мы можем вычислить площадь трапеции, используя формулу: S = ((a + b) * h) / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Подставляя значения в формулу, получаем: S = ((12 + 20) * (√94 * 5√2)) / 2.

Вычисляя это выражение, получаем площадь трапеции.

b) Доказательство равенства площадей треугольников ABD и BAC:

Для доказательства равенства площадей треугольников ABD и BAC мы можем использовать следующую лемму:

Если два треугольника имеют общую высоту и пары оснований, пропорциональные их длинам, то эти треугольники равны по площади.

В данном случае, треугольники ABD и BAC имеют общую высоту (высоту трапеции) и пары оснований, пропорциональные их длинам (AD и AB).

Таким образом, треугольники ABD и BAC имеют равные площади.

Ответ:

a) Площадь трапеции равна ((12 + 20) * (√94 * 5√2)) / 2. b) Треугольники ABD и BAC имеют равные площади.