Question

Помогите решить геометрию пожалуйста. С рисунками.

Answer 1

1) Найдем радиус круга, полученного в сечении плоскостью. Он вычисляется по формуле

$1600\pi=\pi*r^2$

 

Сокращаем обе части на $\pi$

 

$1600=r^2$

 

r=40 дм.

 

Смотрим на рис. 1

 

Расстоянием от центра до плоскости будет отрезок ОМ=9 дм, перпендикулярный любой прямой на этой плоскости, в том числе и радиусу сечения r=АМ=40 дм. Рассмотрим треугольник ОМА. Он прямоугольный. Заметим, что ОА - радиус шара. По теореме Пифагора ОА - гипотенуза, остальные катеты известны.

 

$OA^2=OM^2+MA^2$

 

$OA^2=9^2+40^2$

 

$OA^2=81+1600$

 

$OA^2=1681$

 

OA=41 дм.

 

Ответ: радиус шара равен 41 дм.

 

2) Перепишем уравнение, выделяя полные квадраты

 

$x^2-2x+y^2-4y+z^2+2z-10=0$

 

$(x^2-2x+1)-1+(y^2-4y+4)-4+(z^2+2z+1)-1-10=0$

 

$(x-1)^2-1+(y-2)^2-4+(z+1)^2-1-10=0$

 

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2-16=0$

 

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=16$

 

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=4^2$

 

Так как уравнение сферы в общем виде записывается следующим образом

 

$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$

 

где (a; b; c) - центр сферы, R - радиус сферы,

 

то центром данной сферы будет (1;2; -1), радиус R=4.

 

3) Площадь сектора вычисляется по формуле

 

$S=\frac{\alpha*r^2}{2}$

 

В данноом случае S=1, $r=\frac{4}{\sqrt{\pi}}$.

 

По условию требуется найти только $\alpha$. Подставляем значения в формулу

 

$1=\frac{\alpha*\left(\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)^2}{2}$

 

$2=\alpha*\left(\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)^2$

 

$2=\alpha*\frac{16}{\pi}$

 

$2\pi=\alpha*16$

 

$\alpha=\frac{2\pi}{16}$

 

$\alpha=\frac{\pi}{8}$

 

А если в градусах и минутах, то

 

$\alpha=22^0 30'$

 

4) Рассмотрим рисунок 4. Так же как и первой задаче получаем прямоугольный теугольник ОМА. Теперь гипотенуза (радиус шара ОА) равна 15 см. Расстояние до плоскости равно ОМ=8 см. Надо по теореме Пифагора найти радиус сечения шара плоскостью альфа. В данном случаае МА.

 

$MA^2=OA^2-OM^2$

 

$MA^2=15^2-8^2$

 

$MA^2=225-64$

 

$MA^2=161$

 

Так как сечением будет круг, а радиусом этого круга будет МА, то площадь этого круга вычисляется по формуле

 

$S=\pi*MA^2$

 

$S=161\pi$ см

 

Ответ: $S=161\pi$см

 

5) Рассмотрим рисунок 5. Заметим, что треугольник, образованный точками А, В и С на шаре будет прямоугольным. Докажем это.

 

$AC^2+CB^2=AB^2$

 

$16^2+12^2=20^2$

 

$256+144=400$

 

Выполняется тождество.

 

Заметим, что центр описанной окружности у прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. То есть радиус сечения плоскости, образованной тремя точками А,В и С равен половине гипотенузы АВ, то есть 10 см. Обозначим за М - середину АВ. МВ=10 см. Рассмотрим треугольник ОМВ. Он прямоугольный, так как ОМ - перпендикулярна плоскости трех точек А, В, и С. Заметим, что ОВ=26 см по условию задачи. по теореме Пифагора найдем ОМ - расстояние от центра шара до плоскости трех точек А,В и С

 

$OM^2=OB^2-MB^2$

 

$OM^2=26^2-10^2$

 

$OM^2=676-100$

 

$OM^2=576$

 

OM=24 см.

 

Ответ: 24 см.