Question

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 6, точка М – середина ребра BC, точка О – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. a) Найдите отношение, в котором плоскость CMF делит отрезок SA, считая от вершины S.

Answer 1

Рассмотрим ΔASM; AS=6; SM=AM=3√3 как высоты равносторонних треугольников. Высота SO пирамиды делит AM в отношении AO:OM= 2:1;  по условию SF:FO=1:2.
Продолжим MF до пересечения с AS в точке K; поскольку точки M и F лежат в плоскости CMF, точка K также лежит в этой плоскости и поэтому является точкой пересечения плоскости CMF с ребром AS.

Для нахождения отношения SK:KA применим теорему Менелая к треугольнику ASO и прямой MK:

(SK/KA)·(AM/MO)·(OF/FS)=1;

(SK/KA)·(3/1)·(2/1)=1;

SK/KA=1/6.

Если Вы по какой-то неизвестной мне причине до сих пор не знаете теорему Менелая, или учительница не разрешает ей пользоваться, то Вам придется воспользоваться скучной теоремой о пропорциональных отрезках. Для этого придется к тому же сделать дополнительное построение - провести прямую через точку  O параллельно MK до пересечения с AS в точке L.

SK/KL=SF/FO=1/2;
KL/LA=MO/OA=1/2⇒
в SK одна часть, в LK в два раза больше, то есть две части, 
в LA в два раза больше, чем в LK, то есть четыре части⇒
в KA шесть частей⇒ SK/KA=1/6

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства треугольных пирамид и пропорции.

По условию задачи, треугольная пирамида SABC является правильной, а это означает, что все её рёбра равны 6. Также дано, что точка М является серединой ребра BC, точка О - центр основания пирамиды, а точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды.

Найдем отношение, в котором плоскость CMF делит отрезок SA, считая от вершины S.

Рассмотрим треугольник СMF. Так как точка М является серединой ребра BC, то отрезок MF будет равен половине длины этого ребра, то есть MF = BC/2 = 6/2 = 3.

Также из условия задачи известно, что точка F делит отрезок SO в отношении 1:2. Пусть отрезок SF равен x, тогда отрезок FO будет равен 2x.

Так как точка О является центром основания пирамиды, отрезок OF будет равен радиусу вписанной окружности основания пирамиды. Радиус вписанной окружности равен половине длины стороны треугольника, образованного основанием пирамиды. Так как пирамида SABC является правильной, то сторона треугольника SAB будет равна длине ребра пирамиды, то есть 6.

Заметим также, что треугольник SOF подобен треугольнику SAC, так как у них соответствующие углы равны. Таким образом, мы можем записать пропорцию:

SF / FO = SA / AC

Заменяем известные значения:

x / 2x = 6 / 6

Упрощаем пропорцию:

1 / 2 = 1

Таким образом, мы получили равенство, которое верно для любого значения x. Это означает, что плоскость CMF делит отрезок SA в отношении 1:2, считая от вершины S.

Ответ: отношение, в котором плоскость CMF делит отрезок SA, равно 1:2.