Question

Площадь треугольника АВС равна 12. Найдите площадь треугольника МРК, если известно, что АМ : ВМ = ВР : СР = СК : АК = 1 : 2.

Answer 1

Δ $ABC$
$M$ ∈ $AB$
$K$ ∈ $AC$
$P$ ∈ $BC$
$AM : BM = BP : CP = CK : AK = 1 : 2.$
$S_{ABC}=12$
$S_{MPK}-$ ?

$S= \frac{1}{2} *a*b*sin \alpha$
$S_{ABC}= \frac{1}{2} AB*AC*sin\ \textless \ A=\frac{1}{2} CB*AC*sin\ \textless \ C=$$=\frac{1}{2} AB*CB*sin\ \textless \ B$ или
$x-$ коэффициент пропорциональности
$S_{ABC}=\frac{1}{2}*3x*3x*sin\ \textless \ A=\frac{1}{2}*3x*3x*sin\ \textless \ C=$$=\frac{1}{2}*3x*3x*sin\ \textless \ B$
$\frac{9}{2}x^2*sin\ \textless \ A=12$
$x^2*sin\ \textless \ A= \frac{8}{3}$

$\frac{9}{2}x^2*sin\ \textless \ C=12$
$x^2*sin\ \textless \ C= \frac{8}{3}$

$\frac{9}{2}x^2*sin\ \textless \ B=12$
$x^2*sin\ \textless \ B= \frac{8}{3}$

$S_{AMK}= \frac{1}{2} AM*AK*sin\ \textless \ A= \frac{1}{2} *x*2x*sin\ \textless \ A= x^{2} *sin\ \textless \ A$
$S_{MBP}= \frac{1}{2} BM*BP*sin\ \textless \ B= \frac{1}{2} *2x*x*sin\ \textless \ B= x^{2} *sin\ \textless \ B$
$S_{KPC}= \frac{1}{2} PC*CK*sin\ \textless \ C= \frac{1}{2} *2x*x*sin\ \textless \ C= x^{2} *sin\ \textless \ C$
Заметим, что
$x^{2} *sin\ \textless \ A= \frac{8}{3}$
$x^{2} *sin\ \textless \ B= \frac{8}{3}$
$x^{2} *sin\ \textless \ C= \frac{8}{3}$
Тогда 
$S_{MPK}=S_{ABC}-S_{AMK}-S_{MBP}-S_{PKC}$
$S_{MPK}=12-3* \frac{8}{3} =4$

Ответ: 4 кв. ед. 

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать пропорции, так как отношения сторон в треугольниках АВС и МРК заданы.

Нахождение площади треугольника МРК

1. Находим площадь треугольника АВС Для начала, найдем площадь треугольника АВС. Пусть a, b, и c - стороны треугольника АВС, а p - полупериметр. Тогда площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:

\[S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

Где \[p = \frac{a + b + c}{2}\]

В данном случае площадь треугольника АВС равна 12, так что мы можем использовать эту информацию для дальнейших вычислений.

2. Используем пропорции для нахождения сторон треугольника МРК Так как отношения сторон треугольников АВС и МРК заданы, мы можем найти стороны треугольника МРК. Пусть x, y, и z - стороны треугольника МРК. Тогда мы можем записать следующие пропорции:

\[\frac{AM}{VM} = \frac{BR}{CR} = \frac{CK}{AK} = 1 : 2\]

Это означает, что стороны треугольника МРК взаимосвязаны следующим образом:

\[x = 2y, \quad z = 2x\]

3. Находим площадь треугольника МРК Теперь, когда мы знаем стороны треугольника МРК, мы можем вычислить его площадь, используя формулу Герона с новыми значениями сторон.

Вычисление площади треугольника МРК

По формуле Герона площадь треугольника МРК можно вычислить по следующей формуле:

\[S_{\triangle MRK} = \sqrt{p(p - x)(p - y)(p - z)}\]

Где \[p = \frac{x + y + z}{2}\]

Подставим значения x, y, и z и вычислим площадь треугольника МРК.