Question

У коло вписано чотирикутник зі сторонами 3,5,8 і 10 см. знайти площу. У круг вписан четырехугольник со сторонами 3,5,8 и 10 см. найти площадь.

Answer 1

Пусть имеем четырёхугольник АВСД.
Свойство четырёхугольника, вписанного в окружность, - сумма противолежащих углов равна 180 градусов.
Разделим его диагональю АС на 2 треугольника: АВС и АСД.
Так как <D = 180-(<B), то cos D = -cos B.
Выразим по теореме косинусов сторону АС из двух треугольников, обозначив АС=у, cos B = х, а cos Д = -х.
у² = 3²+10² - 2*3*10*х = 109 - 60х,
у² = 5² + 8² +2*5*8*х   =  89 + 80х.
Вычтем из второго уравнения первое:
-20+140х = 0 или х = 20/140 = 1/7. Это cos B = 1/7, а cos Д = -1/7.
Теперь можно найти значение диагонали АС:
АС² = 109-60*(1/7) = (109*7 - 60) / 7 = 703/7 ≈  10,021406.

Площадь заданного четырёхугольника определим как сумму площадей треугольников АВС и АСД, площадь которых найдём по формуле Герона.
Полупериметр АВС =   11,510703, АСД = 11.510703.

S(АВС) =  √( 11.510703( 11.510703-3)( 11.510703-10)(11.510703-10,021406)) = 14,8461498.
S(АСД) =  √( 11.510703( 11.510703-5)( 11.510703-8)( 11.510703-10,021406)) = 19,7948664.

Ответ: S(АВСД) = 14,8461498 + 19,7948664 = 34.641016 кв.ед.