Question

Точки D и E - середины сторон соответственно АС и ВС треугольника АВС. На отрезке DE как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон АС и ВС в точках M и N соответственно. а) Докажите, что биссектрисы углов МEN и NDM пересекаются на этой окружности. б) Найдите MN , если известно, что АВ=14, ВС=10, АС=6. (ответ: 3,5)

Answer 1

Сделаем рисунок.
Так как окружность пересекает продолжения сторон АС и ВС,  а точки N и М лежат на ней, углы DNЕ и DМЕ, опирающиеся на диаметр DE,  - прямые, а угол DСЕ , вершина С которого находится внутри окружности, тупой.
Поскольку точки D и Е - середины сторон АС и ВС, отрезок DЕ - средняя линия треугольника АВС и равен половине АВ
DЕ=АВ:2=7
DС= АС:2=3
СЕ=ВС:2=5
Найдем величину угла DСЕ по т. косинусов. Вычисления давать не буду, ничего сложного в них нет.
Главное, что   найденный в результате косинус угла DСВ равен - 0,5, и это косинус 120°.
Угол ЕСN, как смежный с углом ЕСD, равен 60°.
Т.к. треугольник ЕСN прямоугольный, угол СЕN равен 90°-60°=30°.
На том же основании угол СDМ =30°
Оба эти угла  опираются на дугу МN.
На ту же дугу опирается центральный угол МОN.
Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный, вдвое больше него, ⇒ угол МОN=60°.
Угол ЕСN - внешний угол при вершине С треугольника DЕС.
Он равен 60°,
сумма углов ЕDС и DЕС равна этому внешнему углу и равна 60°.
Сумма половин углов СЕN и СDМ равна 2*(30°:2)=30°. Следовательно, сумма углов ЕDК+КЕD равна 60°+30°=90°.
Отсюда угол DКЕ равен 180°-90°=90°
Треугольник DKE- прямоугольный, две его вершины лежат на окружности, а половина гипотенузы - радиус этой окружности.
Следовательно, этот треугольник вписан в окружность, и К, точка пересечения биссектрис углов МЕNи NDМ, лежит на этой окружности, что и требовалось доказать. 
——
Треугольник МОN - равноберенный, т.к. ОМ=ОN= радиусу.
Если угол при вершине равнобедренного треугольника равен 60°, этот треугольник - равносторонний.
МN равна радиусу окружности, т.е. равна половине ее диаметра DЕ
МN=7:2=3,5 
------
[email protected]