Question

Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O,лежащей на стороне AD.Докажите,что точка O равноудалена от прямых AB,BC,CD.

Answer 1

Проведем из О к указанным сторонам трапеции перпендикуляры к АВ -а, к ВС - е, к СD-у 

Рассмотрим ∆ ВОа и ВОе. Они прямоугольные , имеют общую гипотенузу ВО и по равному острому углу при В. 

            Если ги­по­те­ну­за и при­ле­жа­щий к ней угол од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ги­по­те­ну­зе и при­ле­жа­ще­му углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны. ⇒

катет аО = еО

Аналогично доказывается равенство катетов еО и уО треугольников СОе и СОу. 

Отрезки Оа, Ое, Оу равны и как перпендикуляры от точки до прямой, являются расстоянием от О до  АВ, до ВС и до AD. 

Т.е. О - равноудалена от прямых  АВ,  ВС и AD, ч.т.д.

Как вариант: Из  теоремы:

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон, следует: 

Точка О - общая для  биссектрис двух углов с общей стороной ВС, следовательно, равноудалена от прямых, содержащих их стороны.