Question

Боковая сторона равнобедренной трапеции в три раза длиннее меньшего основания. Биссектрисы тупых уголов этой трпеции пересекаются в точке лежащей на основании. Найти отношение площади трапеции к площадитреугольника образованного меньши основанием и бисскетрисы.

Answer 1

Пусть ABCD - трапеция, AB=CD- боковые стороны. Точка пересечения биссектрис О.

Из рисунка видно:

т.к. биссектрисы BO и CD - пересеклись в одной точки, следовательно они равны.

И равны они сторонам AB и CD. Биссектриса - это луч, разделяющий угол пополам, следовательно углы ABO=CBO=BCO=OCD. Следовательно треугольники ABO, BOC и OCD равны (по двум сторонам и углу между ними.

На рисунке это видно, что трапеция состоит из трёх одинаковых треугольников.

Если мы обозначим малое основание х, то большое основание будет 2х, а боковая сторона 3х, т.к. длинее малого онснования в 3 раза, высота для треугольника и для трапеции одинакова, поэтому обозначим её h, остюда отношения площадей:

S(ABCD)/S(BOC)=(0.5(AD+BC)*h)/(0,5*BC*h)=(0.5h*(2x+x))/(0.5h*x)=(1.5x*h)/(0.5x*h)=3. Что и видно из картинки - трапеция состоит из 3 равных треугольников, поэтому и отношения площади трапеции к площади треугольника равно 3. Т.е. трапеция в три раза больше треугольника BOC.

Ответ: Отношение площади трапеции к площади треугольника равно 3.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давай сначала обозначим данные:

Пусть \(ABCD\) - равнобедренная трапеция, где \(AB\) и \(CD\) - основания, \(BC\) и \(AD\) - боковые стороны, \(M\) - точка пересечения биссектрис углов \(B\) и \(C\), \(P\) - точка пересечения биссектрис углов \(A\) и \(D\).

Также пусть \(AC\) - высота трапеции, \(h\) - высота треугольника \(AMP\), \(x\) - длина \(BC\), \(y\) - длина \(AD\).

Условие задачи гласит, что боковая сторона \(BC\) трапеции в три раза длиннее меньшего основания \(AD\). Таким образом, \(x = 3y\).

Также известно, что биссектрисы тупых углов пересекаются на основании трапеции, то есть точка \(M\) лежит на \(AD\) и \(BC\).

Теперь давай найдем отношение площадей трапеции \(ABCD\) и треугольника \(AMP\).

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения его основания \(AD\) на высоту \(h\):

\[S_{\triangle AMP} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h\]

Площадь трапеции можно выразить как сумму площадей двух треугольников: \(ABC\) и \(ADC\):

\[S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}\]

Площадь треугольника \(ABC\) также можно выразить как половину произведения основания \(BC\) на высоту \(AC\), а площадь треугольника \(ADC\) - как половину произведения основания \(AD\) на высоту \(AC\):

\[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC\] \[S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC\]

Теперь мы можем выразить отношение площадей:

\[\frac{S_{ABCD}}{S_{\triangle AMP}} = \frac{S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}}{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h}\]

Подставим выражения для площадей треугольников:

\[\frac{S_{ABCD}}{S_{\triangle AMP}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC}{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h}\]

Теперь заменим \(BC\) на \(3y\) (согласно условию задачи) и упростим:

\[\frac{S_{ABCD}}{S_{\triangle AMP}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 3y \cdot AC + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC}{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h}\]

Сократим на \(\frac{1}{2}\) и подставим значение \(x = 3y\):

\[\frac{S_{ABCD}}{S_{\triangle AMP}} = \frac{3y \cdot AC + AD \cdot AC}{AD \cdot h}\]

Теперь мы можем заменить \(x\) на \(3y\):

\[\frac{S_{ABCD}}{S_{\triangle AMP}} = \frac{3y \cdot AC + AD \cdot AC}{AD \cdot h}\]

Нам осталось использовать условие задачи, что боковая сторона \(BC\) в три раза длиннее \(AD\), т.е., \(x = 3y\), что равносильно \(y = \frac{1}{3}x\). Теперь можем выразить \(AD\) через \(x\):

\[AD = \frac{1}{3}x\]

Теперь подставим это значение в нашу формулу:

\[\frac{S_{ABCD}}{S_{\triangle AMP}} = \frac{3y \cdot AC + AD \cdot AC}{AD \cdot h} = \frac{3 \cdot \frac{1}{3}x \cdot AC + \frac{1}{3}x \cdot AC}{\frac{1}{3}x \cdot h}\]

Сократим на \(\frac{1}{3}x\):

\[\frac{S_{ABCD}}{S_{\triangle AMP}} = \frac{AC + AC}{h} = \frac{2AC}{h}\]

Таким образом, отношение площади трапеции \(ABCD\) к площади треугольника \(AMP\) равно \(\frac{2AC}{h}\).