Question

Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Answer 1

Обозначим вершины пирамиды МДАВС. 

Пусть перпендикулярны основанию  грани АДМ и СДМ следовательно, МД ⊥ ДА и ДС.

 По условию боковые грани образуют с основанием углы в 30° и 45°

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.

 По т.о 3-х перпендикулярах МА⊥АВ. Плоскость МАД⊥ плоскости основания и плоскости грани МАВ. ∠ МАД=30°            

 По т. о 3-х перпендикулярах МС⊥ВС. Плоскость МСД ⊥плоскости основания и плоскости грани МСВ. ∠ МСД=45°

Примем СД=АВ=х.  ∆ МДС прямоугольный, и угол 45° задает  равенство МД=СД=х. По т.Пифагора МС=х√2

Т.к. МД=х и противолежит углу 30°, в ∆МАД  гипотенуза МА=2х

АД=ВС=АМ•sin 60º=x√3

По т.Пифагора из ∆ АВД найдем х: АВ²+АД²=ВД² 

х²+3х²=64 ⇒ 4х²=64, ⇒ х=√16=4.

АВ=СД=МД=4

АД=ВС=4√3

МС=4√2

АМ=2•4=8

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей основания и четырех её боковых граней. 

Sосн=4•4√3=16√3

S∆ МДА=0,5•МД•АД=0,5•4•4√3=8√3

S∆МДС=0,5•МД•СД=0,5•16=8

S∆MAB=0,5•MA•AB=0,5•8•4=16

S∆MCB=0,5•MC•CB=0,5•4√2•4√3=8√6

Sполная=16√3+8√3+8+16+8√6=24√3+24+8√6=24(√3+1+√(6/9) см²