Question

В равнобедренной трапеции ABCD угол А=30 градусов,угол ACD=135 градусов,AD=20 см.,BC=10 см..Докажите что AC-биссектриса,угла BAD.Найдите периметр трапеции

Answer 1

Так как трапеция равнобедренная, углы при основаниях равны.
Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
∠ABC = ∠DCB = 180° - 30° = 150°
Тогда ∠BCA = 150° - ∠ACD = 150° - 135° = 15°

∠CAD = ∠BCA = 15° как накрест лежащие при пересечении ВС║AD секущей АС.
∠ВАС = ∠BAD - ∠CAD = 30° - 15° = 15°
Значит, АС - биссектриса ∠BAD.
В ΔАВС ∠ВАС = ∠ВСА = 15°, ⇒ треугольник равнобедренный.
АВ = ВС = 10 см.
Рabcd = AD + BC + 2·AB = 20 + 10 + 20 = 50 см

Боковую сторону можно найти другим способом:
Опустить высоту СН.
Так как трапеция равнобедренная, HD = (AD - BC)/2 = 10/2 = 5
Из прямоугольного ΔCHD: CD = HD/cos30° = 5/(√3/2) = 10/√3.
То есть получаем другое значение боковой стороны.

Значит, в условии ошибка, равнобедренной трапеции с такими данными и АС - биссектрисой угла А не существует.