Question

Через т. косинусов и синусов. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в т.М, при этом АМ=1, ВМ=4. Найдите СМ, если известно, что угол ВАС=120

Answer 1

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны...
и тогда по т.косинусов можно записать:
(4+x)² = 5² + (x+1)² - 2*5*(x+1)*cos(120·)
16 + 8x + x² = 25 + x² + 2x + 1 + 5x + 5
x = 15 --это равные расстояния от вершины С треугольника до точек касания окружности со сторонами CВ и СА,
следовательно, СА = 15+1 = 16, СВ = 15+4 = 19
и вновь по т.косинусов из треугольника СМА
СМ² = 1² + 16² - 2*1*16*cos(120·)
CM² = 1+256+16 = 273
CM = √273