Question

В параллелограмме ABCD точки М и К — середины сторон CD и AD соответственно, Р — точка пересечения отрезков AM и ВК. Найдите отношение площади треугольника АРК к площади параллелограмма.

Answer 1

1) Проведем МН параллельно АD  и обозначим ее пересечение с ВК точкой Т. 

МН=АD; ВН=АН

АК=АD/2 

 НТ||АD ⇒ НТ – средняя линия ∆ АВК и равна половине АК, значит, НТ=АD/4⇒

ТМ=AD-AD/4=3АD/4

2) ∠РАК=∠РМТ - накрестлежащие. 

Углы при пересечении ВК и АМ  равны как вертикальные. 

∆ АРК~∆ ТРМ по равным углам.

АК:ТМ=АD/2 : 3АD/4=3/2

Проведем  КЕ параллельно АВ. 

ВЕ=АК, АВ=КЕ⇒

АВЕК - параллелограмм, его площадь равна половине площади АВСD. 

Примем площадь АВСD=Sр (т.е. S parall) Площадь АВЕК=Sр/2

3) Диагональ ВК делит АВЕК пополам. 

Площадь ∆ АВК равна половине площади АВЕК=Sр/4

В ∆ АВК   ВТ=ТК

Примем коэффициент  отношения ТР/РК равным а. Тогда отрезок  ТК=3a+2a=5а 

ВТ=ТК=5а, ВК=ВТ+ТК=10а. 

Площади треугольников с равной высотой относятся как их основания. 

S(АРК):SABK=2/10=1/5

S(АРК)= Sp/4•1/5=1/20 ⇒

Площадь  ∆ АРК относится к площади параллелограмма как 1/20.