Question

В треугольнике ABC угол В равен 23 градуса,угол С равен 41 градус,АD-биссектриса,Е-такая точка на АВ,что АЕ=АС.Найдите угол ВDЕ.

Answer 1

Соединим точки Е и С. Треугольник ЕСА - равнобедренный, так как АС=АЕ (это дано).Углы при основании ЕС равны между собой, а угол А равен 180° -(В+С) = 116°. Тогда углы АЕС и ЕСА  равны (180°-116°):2=32°. Значит угол ЕFA (F- это точка пересечения биссектрисы AD и отрезка ЕС) = 180°-(AEF+EAF) = 180°-(32°+58°)=90°. (угол EAF = 1/2 угла А, т.к. AD - биссектриса. Угол AEF = 32°, как угол при основании ЕС равнобедренного тр-ка ЕАС). Итак, при точке пересечения биссектрисы AD и отрезка ЕС все углы прямые!В равнобедренном треугольнике ЕСА биссектриса AF (отрезок AD) является и медианой и высотой (по свойствам равнобедренного тр-ка) и EF=FC. С другой стороны, по признакам равнобедренности - если EF=FC, то тр-ник EDC, в котором FD является и медианой и высотой, равнобедренный. То есть ED=DC.Углы при основании тр-ка EDC равны угол С - угол ECA = 41°-32° = 9°. Тогда на стороне АB имеем углы АEF,DEF и BED, в сумме равные 180°.из них нам неизвестен только угол BED, который равен 180°-(32°+9°) = 139°.Тогда искомый угол BDE в тр-ке BDE равен 180°-(23°+139°) = 18°.Ответ: угол BDE = 18°