Question

Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 и 16. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Вспомним, что  в трапеции треугольники, образованные основаниями и пересекающимися диагоналями подобны по  трём равным углам. 
S ВОС: S AOD=16:25 
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно,
k=ВО:ОD=√(16:25)=4/5 
Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований. 
Треугольнике ВОС и СОD имеют общую высоту. Следовательно, площадь треугольника СО=5/4 площади ВОС и равна 16:4*5=20 
В трапеции треугольники, образованные боковыми сторонами и пересекающимися диагоналями равновелики. ⇒ 
S AOB=S COD=20 ( можно проверить по отношению ВО:ОD и равным высотам). 
Площадь трапеции равна 
S ABCD= S BOC+S AOD+S AOB+S COD=16+25+20+20=81