Question

Докажите, что биссектриса угла A треугольника ABC проходит через точку пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних углов при вершинах B и C.

Answer 1

Пусть биссектрисы внешних углов В и С пересеуаются в точке Д. Предположим что угол АВС=gamma;а угол АСВ=betta; тогда угол СВД=(Пи/2-gamma/2); а угол BCD=(Пи/2-betta/2); угол АВД=(ПИ/2+gamma/2); угол АСД= (Пи/2+betta/2) .

Тогда BD/sin(DAB)=AD/sin(ABD);  and CD/sin(DAC)=AD/sin(DCA);

BD/sin(DCB)=CD/sin(DBC)=>CD=BD*sin(DBC)/sin(DCB);

sin(DAB)=BD*sin(ABD)/AD ; sin(DAC)=CD*sin(DCA)/AD;       подставляем   

sin(DAC)=BD*sin(DBC)*sin(DCA)/(sin(DCB)*AD);

sin(ABD)=sin(pi/2+gamma/2)=cos(gamma/2); sin(DBC)=sin(pi/2-gamma/2)=cos(gamma/2); sin(DCA)=sin(pi/2+betta/2)=cos(betta/2);sin(DCB)=sin(pi/2-betta/2)=     cos(betta/2); подставляем

sin(DAB)=BD*cos(gamma/2)/AD;

sin(DAC)=BD*cos(gamma/2)*cos(betta/2)/(cos(betta/2)*AD);

сокращаем получаем sin(DAC)=BD*cos(gamma/2)/AD=sin(DAB)  ; => DAB=DAC