Question

В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ и площадью 30, точка О-центр вписанной окружности. Площадь треугольника АОВ равна 13. Найти длины сторон треугольника.

Answer 1

Обозначим: Точки касания вписанной окружности с АВ - К, с СВ -М, с АС- Р. АР=АК,  ВМ=ВК. Сл-но треугольники АОР=АОК, ВОК=ВОМ. Известна площадь треугольника АОВ, которая состоит из треугольников АОК и ВОК. Значит сумма площадей АОР и МОВ тоже равна 13. Площадь АВС по условию=30.  30-13-13=4. Это площадь квадрата СРОМ, сторона которого равна радиусу вписанной окружности. Отсюда радиус =2. Теперь можно вычислить гипотенузу, площадь треугольника АОВ=1/2*АВ*2  1/2*АВ*2=13  АВ=13.  а²+b²=13²  1/2ab=30. Решаем систему уравнений. Выразим из второго b через а, b=60/а и подставляем в первое уравнение . а²+(60/а)²=169  Получим биквадратное уравнение а^4-169a^2+3600=0. Введем новую переменную t=a². Решаем квадратное уравнение, получим t=25. Сл-но а=5, b=60/5=12. Ответ: стороны треугольника 5, 12, 13.