Question

Около окружности радиуса 2см описана равнобедренная трапеция с острым углом равным 30 градусов. Вычислите площадь трапеции.

Answer 1

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть 2 * 2 = 4 см.

Катет, противолежащий углу 30°, вдвое меньше гипотенузы, поэтому боковая сторона трапеции равна  4 * 2 = 8 см.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противолежащих сторон равны. В данном случае полусумма оснований равна боковой стороне, а площадь трапеции   S = 8 * 4 = 32 см².

Answer 2

Давайте разберемся. Пусть у нас есть окружность радиуса \( R = 2 \) см, вокруг которой описана равнобедренная трапеция с острым углом, равным \( 30^\circ \). Посмотрим, как мы можем найти площадь этой трапеции.

Поскольку трапеция равнобедренная и остроугольная, у нас есть два основания трапеции, которые параллельны друг другу и равны между собой. Пусть эти основания будут \( a \) и \( b \).

Также, у нас есть два боковых угла трапеции, равных \( 30^\circ \). Поскольку трапеция равнобедренная, каждый из этих углов делится пополам, и мы получаем два угла по \( 15^\circ \).

Теперь, если мы соединим вершины оснований с центром окружности, у нас образуется два равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет угол в \( 30^\circ \) и два угла в \( 15^\circ \). Мы также знаем, что центральный угол в окружности, ограниченный этими двумя радиусами, равен \( 60^\circ \).

Теперь мы можем использовать закон синусов для вычисления длин боковых сторон трапеции:

\[ \frac{a}{\sin 15^\circ} = \frac{b}{\sin 15^\circ} = \frac{2R}{\sin 60^\circ} \]

Решив это уравнение, мы найдем значения \( a \) и \( b \).

Теперь, когда у нас есть длины оснований трапеции, мы можем использовать формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

где \( h \) - высота трапеции. Высоту можно найти, например, используя те же треугольники и теорему Пифагора.

Обратите внимание, что все углы измеряются в градусах, а длины измеряются в сантиметрах. Пожалуйста, выполните расчеты и найдите площадь трапеции.