Question

В остроугольном треуголнике МНР биссектрисса угла М пересекает высоту НК в точке О. ОК=9 см. найдите расстояние от точки О до прямой МН

Answer 1

Тоже 9 см. Я бы тут "навел науку", но, к сожалению, ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ биссектриса - это прямая, каждая точка которой равноудалена от сторон угла. ОК=9 это и есть расстояние от О до МР.

Обычное заблуждение состоит в том, что определением считают равенство углов, которые биссектриса образует со сторонами угла. Впрочем, оба определения равносильны, просто использованное мной - удобнее.

Answer 2

Вот подробный ответ на ваш вопрос:

В остроугольном треугольнике МНР биссектрисса угла М пересекает высоту НК в точке О. ОК=9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой МН.

Решение:

Пусть угол М равен 2α, тогда угол ОНМ равен α. По теореме синусов в треугольнике МНО имеем:

$$\frac{ОН}{\sin 2α}=\frac{ОМ}{\sin α}$$

Отсюда выразим ОН:

$$ОН=\frac{ОМ \sin 2α}{\sin α}$$

Заметим, что ОН является гипотенузой прямоугольного треугольника ОНК, а ОК - его катетом. По теореме Пифагора получаем:

$$ОН^2=ОК^2+НК^2$$

Подставим ОН и ОК:

$$\left(\frac{ОМ \sin 2α}{\sin α}\right)^2=9^2+НК^2$$

Отсюда выразим НК:

$$НК=\sqrt{\left(\frac{ОМ \sin 2α}{\sin α}\right)^2-9^2}$$

Теперь мы можем найти расстояние от точки О до прямой МН, которое равно длине высоты НК:

$$ОМН=\sqrt{\left(\frac{ОМ \sin 2α}{\sin α}\right)^2-9^2}$$

Ответ: расстояние от точки О до прямой МН равно $$\sqrt{\left(\frac{ОМ \sin 2α}{\sin α}\right)^2-9^2}$$ см.