Question

А) У прямокутному трикутнику з гіпотенузою 12 см кут між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини прямого кута, дорівнює 15*. Знайдіть катети трикутника.б) Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу у відношенні 3:4. Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо його периметр дорівнює 84 см.

Answer 1

1) Дан треугольник АВС, угол С - прямой. СM- биссектриса, СК- высота(см рисунок)
$\angle ACK=\angle KCB= 45 ^{o} ,\angle KCM=15 ^{o}$
значит
$\angle ACK=45 ^{o} -15 ^{o}=30 ^{o}$
Из прямоугольного треугольника АСК
$\angle CAK=60 ^{o}, \angle ABC=30 ^{o}$
Значит АС=6 см, СВ=6·√3

2) Дан треугольник АВС, угол С - прямой. СM- биссектриса ( см тот же рисунок)
 По условию АМ:МВ=3:4
Свойство биссектрисы угла треугольника: биссектриса угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
АС:ВС=АМ:МВ=3:4
 Пусть АС=3х, тогда ВС=4х.
 По теореме Пифагора АВ=5х=√(3х)²+(4х)²
Периметр Р=3х+4х+5х=12х, а по условию задачи 84 см.
12х=84,
х=7
Тогда стороны треугольника АС=21 см, ВС=28 см, АВ=35 см.

Answer 2

Задача А: У прямокутному трикутнику з гіпотенузою 12 см кут між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини прямого кута, дорівнює 15. Знайдіть катети трикутника.

Для вирішення цієї задачі, давайте назвемо катети трикутника як a і b. Ми знаємо, що гіпотенуза дорівнює 12 см. Крім того, ми знаємо, що кут між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини прямого кута, дорівнює 15.

Застосуємо теорему Піфагора для вирішення цієї задачі. Згідно з теоремою Піфагора, сума квадратів довжин катетів трикутника дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.

Таким чином, ми маємо рівняння:

a^2 + b^2 = 12^2

Також ми знаємо, що кут між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини прямого кута, дорівнює 15. Це означає, що відповідні трикутники подібні. Застосуємо співвідношення між сторонами подібних трикутників:

a/b = b/(12-b)

Зараз ми маємо два рівняння з двома невідомими. Розв'яжемо їх для знаходження значень a і b.

Розв'язок:

З рівняння a/b = b/(12-b) ми можемо отримати a = b^2 / (12 - b).

Підставимо це значення a в рівняння a^2 + b^2 = 12^2:

(b^2 / (12 - b))^2 + b^2 = 12^2

Розкривши це рівняння і спрощуючи, ми отримаємо квадратне рівняння:

b^4 - 24b^3 + 144b - 1728 = 0

Розв'яжемо це квадратне рівняння для знаходження значень b. Ми можемо використати числові методи або факторизацію. Після знаходження значення b, ми можемо підставити його в рівняння a = b^2 / (12 - b) для знаходження значення a.

Важливо пам'ятати, що розв'язок цього рівняння може бути складним і може знадобитися використання числових методів або комп'ютерних програм для знаходження значень b та a.

Задача Б: Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу у відношенні 3:4. Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо його периметр дорівнює 84 см.

Для вирішення цієї задачі, давайте назвемо гіпотенузу трикутника як c. Ми знаємо, що гіпотенуза ділиться бісектрисою прямого кута у відношенні 3:4. Тобто, відношення довжини першої частини гіпотенузи до другої частини дорівнює 3:4.

Ми також знаємо, що периметр трикутника дорівнює 84 см. Периметр трикутника - це сума довжин всіх його сторін.

Таким чином, ми маємо рівняння:

a + b + c = 84

Для знаходження гіпотенузи, ми повинні знати значення катетів трикутника. Однак, ми знаємо, що гіпотенуза ділиться бісектрисою прямого кута у відношенні 3:4. Це означає, що ми можемо представити катети як 3x і 4x, де x - це спільний множник відношення.

Таким чином, ми маємо рівняння:

3x + 4x + c = 84

7x + c = 84

Тепер ми маємо рівняння з однією невідомою c. Розв'яжемо його для знаходження значення гіпотенузи c.

Розв'язок:

7x + c = 84

За умовою задачі, бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу у відношенні 3:4. Це означає, що x = c / 7.

Підставимо це значення x в рівняння 7x + c = 84:

7(c / 7) + c = 84

c + c = 84

2c = 84

c = 42

Таким чином, гіпотенуза трикутника дорівнює 42 см.

Зверніть увагу, що в цьому розв'язку ми використовуємо відношення між сторонами подібних трикутників та рівняння периметру трикутника для знаходження значень сторін.