Question

Окружность заданная уравнением x^2+y^2=12 пересекает положительную полуось Ох в точке М, точка К лежит на окружности ее абсцисса равна -2. Найди площадь треугольника ОКМ.

Answer 1

O(0;0);
M($\sqrt{12}$;0);
K(-2;$\sqrt{8}$) или (-2;$\sqrt{-8}$) (не важно);
Вектор OM {$\sqrt{12}$;0};
Вектор OK (-2;$\sqrt{8}$);
cos(OM^OK)=$\frac{2 \sqrt{12} }{12}$=$\frac{ \sqrt{12} }{6}$;
sin(OM^OK)=$\sqrt{1- \frac{12}{36} }$=$\sqrt{ \frac{2}{3} }$;
S(ΔOKM)=$\frac{1}{2}$*OM*OK*sin(OM^OK);
S(ΔOKM)=6*$\sqrt{ \frac{2}{3} }$
 

Answer 2

Дано уравнение окружности: \(x^2 + y^2 = 12\). Положительная полуось \(Ox\) пересекает окружность в точке \(M\). Также дано, что точка \(K\) лежит на окружности, и её абсцисса равна -2.

Для начала, найдем координаты точки \(M\), в которой положительная полуось \(Ox\) пересекает окружность.

Уравнение окружности: \(x^2 + y^2 = 12\). Так как точка \(M\) лежит на положительной полуоси \(Ox\), то её ордината \(y\) равна 0. Подставим \(y = 0\) в уравнение окружности:

\[x^2 + 0^2 = 12\]

Отсюда получаем, что \(x^2 = 12\), и, следовательно, \(x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\). Так как \(M\) лежит на положительной полуоси \(Ox\), то \(x = 2\sqrt{3}\). Таким образом, координаты точки \(M\) равны \((2\sqrt{3}, 0)\).

Теперь у нас есть координаты точек \(O (0, 0)\), \(K (-2, y_K)\) и \(M (2\sqrt{3}, 0)\). Найдем ординату точки \(K\). Подставим \(x = -2\) в уравнение окружности:

\[(-2)^2 + y_K^2 = 12\]

\[4 + y_K^2 = 12\]

\[y_K^2 = 8\]

\[y_K = \pm 2\sqrt{2}\]

Так как точка \(K\) лежит на окружности, то её ордината \(y_K\) должна быть положительной, поэтому \(y_K = 2\sqrt{2}\).

Теперь у нас есть координаты всех трех точек: \(O (0, 0)\), \(K (-2, 2\sqrt{2})\) и \(M (2\sqrt{3}, 0)\).

Найдем длины сторон треугольника \(OKM\) и используем формулу Герона для нахождения его площади.

Длина стороны \(OK\) вычисляется по формуле расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[OK = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (2\sqrt{2} - 0)^2} = \sqrt{4 + 8} = 2\sqrt{3}\]

Длина стороны \(OM\) вычисляется аналогично:

\[OM = \sqrt{(2\sqrt{3} - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 2\sqrt{3}\]

Длина стороны \(MK\) вычисляется также:

\[MK = \sqrt{(2\sqrt{3} - (-2))^2 + (0 - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{(4\sqrt{3} + 2)^2 + (0 - 2\sqrt{2})^2}\]

После нахождения длин всех сторон, можно использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - OK) \cdot (p - OM) \cdot (p - MK)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(p = \frac{OK + OM + MK}{2}\).

Подставим найденные значения:

\[p = \frac{2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \sqrt{(4\sqrt{3} + 2)^2 + (0 - 2\sqrt{2})^2}}{2}\]

После вычисления \(p\) подставим его в формулу площади и найдем значение \(S\).