Question

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке P причём BP = PC. найдите стороны параллелограмма если его периметр равен 54 см

Answer 1

При построении видно, что сторона АВ=ВР (величины углов А и Р треугольника АВР равны⇒ треугольник АВР равнобедренный).
периметр =6*ВР=54
ВР=АВ=СД=9 см
ВС=СД=9*2=18 см

Answer 2

Определим стороны параллелограмма ABCD:

Пусть сторона AB = c, сторона BC = a, сторона CD = d, сторона DA = b.

Из условия известно, что биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке P, причем BP = PC. Так как точка P находится на биссектрисе угла A, то угол ABP равен углу PBC. Также, так как ABCD - параллелограмм, то AB || CD и BC || AD. Отсюда следует, что угол BPC также равен углу BDA.

Таким образом, треугольники ABP и DCP равны по гипотенузе и ближайшему к ним катету. Это значит, что BP = CP и угол BAP = углу CDP.

Далее, согласно теореме Синусов, получаем:

BP/AB = sin(BAP) и CP/CD = sin(CDP)

Так как BP = CP и AB = CD (так как AB || CD), получаем:

BP/AB = CP/CD => sin(BAP) = sin(CDP)

Это возможно, только если углы BAP и CDP равны. Таким образом, AB = CD и угол ABC равен углу CDA.

Теперь выразим стороны параллелограмма через неизвестные величины:

AB = CD = x (пусть)

Также, из условия известно, что периметр параллелограмма равен 54 см:

2*(AB + BC) = 54 2*(x + a) = 54 x + a = 27

Таким образом, имеем систему уравнений:

x + a = 27 AB || CD AB = CD = x

Решим эту систему:

из первого уравнения выразим a через x: a = 27 - x

AB || CD, значит углы ABC и CDA равны, значит треугольники ABC и CDA подобны. Поэтому соотношение сторон должно быть равно:

AB/CD = BC/AD => x/x = a/b => 1 = (27 - x)/b

Так как a = b, то a = b = 27 - x.

Теперь найдем величины сторон параллелограмма:

AB = CD = x BC = a = 27 - x AD = b = 27 - x

Таким образом, стороны параллелограмма ABCD равны:

AB = x BC = 27 - x CD = x AD = 27 - x