Question

В равнобедренном треугольнике AВС c основанием АС проведены медианы АЕ и СD.Докажите, что ΔАВС=ΔСВD

Answer 1

а) Треугольник ABE= треугольнику CBD 
Доказательство: 
АВ = ВС так как треугольник АВС - равнобедренный по условию 
< ABE = < CBE (это один и тот же угол) 
Медиана делит противополжную сторону пополам, а значит в равнобедренном треугольнике ABC медианы AE и CD делят стороны АВ и ВС на четыре равных отрезка. Отсюда BE= BD. 
Следовательно треугольник ABE = треугольнику CBD по двум сторонам и углом между ними. 

б) Треугольник DOE и треугольник AOC равнобедренные 
Доказательство: 
Медианы, высоты и биссектрисы проведенные с углов основания в равнобедренном треугольнике равны между собой. Медианы в точке пересечения делятся на отрезки в отношении 2:1 начиная от угла. А значит при любой длине медиан АО/ОЕ = СО/OD = 2/1. Отсюда АО = СО; ОЕ = OD следовательно треугольник DOE и треугольник AOC равнобедренные 

в) DB-биссектриса угла DOE 
Вот здесь по идее условие неверно. Должно быть ОB-биссектриса угла DOE. 
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Медианы AE и CD равны, а значит что точка их пересечения лежит на высоте треугольника АВС. Следовательно ОВ совпадает с биссектрисой, медианой, высотой АВС. DE || AC (средняя линия АВС) , значит OB перпендикуляр DE. Отсюда ОВ - биссектриса угла DOE 

Answer 2

Конечно, давай разберём это! В равнобедренном треугольнике у нас две равные стороны: AB = AC. Мы знаем, что медианы в треугольнике пересекаются в точке, которая делит их в отношении 2:1. Так что точка E, где медиана AE пересекает сторону BC, делит её в отношении 2:1, то есть CE = 2 * ED.

Теперь, чтобы доказать, что треугольники ΔАВС и ΔСВD равны, давай взглянем на их стороны и углы.

У нас есть равенство AB = AC (по условию равнобедренности треугольника). Также мы знаем, что CE = 2 * ED.

Рассмотрим треугольники:

1. ΔАВС: - AB = AC (равные стороны равнобедренного треугольника) - Угол при вершине A равен углу при вершине A в ΔСВD (оба треугольника имеют общую вершину A) - Второй угол при вершине C также равен в обоих треугольниках (поскольку это углы при основании равнобедренного треугольника)

2. ΔСВD: - CD = BD (медианы равнобедренного треугольника делят основание на две равные части) - Угол при вершине C равен углу при вершине C в ΔАВС (оба треугольника имеют общую вершину C) - Второй угол при вершине B также равен в обоих треугольниках (поскольку это углы при основании равнобедренного треугольника)

Таким образом, у нас есть:

- AB = AC (равные стороны) - CE = 2 * ED

А также равенство углов.

Из этих фактов мы можем заключить, что треугольники ΔАВС и ΔСВD равны.