Question

Докажите,что прямоугольные треугольники,катеты которых пропорциональны,подобны?

Answer 1

A1, b1 - катеты 1-го треуг.
a2, b2 - катеты 2-го треуг.

a1/a2 = b1/b2   или       a1/b1 = a2/b2 (1)  или   b1/a1 = b2/a2 (2)

но пропорции (1) и (2) выражают тангенсы углов, прилежащих к гипотенузе каждого треугольника. Если тангенсы равны, то и углы равны. Значит треуг. подобны по трем углам (3-й угол  - 90 градусов) 

Answer 2

Прямоугольные треугольники с пропорциональными катетами

Прежде чем мы начнем доказывать подобие прямоугольных треугольников с пропорциональными катетами, давайте определим, что такое подобие треугольников. Подобные треугольники - это треугольники, у которых все углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Теперь давайте рассмотрим прямоугольные треугольники, у которых катеты пропорциональны. Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и DEF, где AB и DE - катеты, а BC и EF - гипотенузы. Предположим, что отношение длин катетов в треугольниках ABC и DEF равно k.

Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, чтобы установить отношение длин гипотенуз:

BC^2 = AB^2 + AC^2 (для треугольника ABC) EF^2 = DE^2 + DF^2 (для треугольника DEF)

Так как катеты AB и DE пропорциональны, мы можем записать их отношение как AB = k * DE. Подставим это в уравнение для треугольника ABC:

BC^2 = (k * DE)^2 + AC^2

Мы также знаем, что гипотенузы BC и EF пропорциональны, поэтому мы можем записать их отношение как BC = k * EF. Подставим это в уравнение для треугольника DEF:

EF^2 = DE^2 + (k * DF)^2

Теперь мы можем сравнить эти два уравнения:

(k * EF)^2 = (k * DE)^2 + AC^2

Мы видим, что у нас есть два уравнения, которые имеют одинаковую структуру. Это означает, что у нас есть два подобных треугольника с пропорциональными катетами. Таким образом, мы доказали, что прямоугольные треугольники с пропорциональными катетами подобны.

Заключение

Мы доказали, что прямоугольные треугольники, у которых катеты пропорциональны, подобны. Это было продемонстрировано с использованием теоремы Пифагора и сравнения уравнений для треугольников.