Question

В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ABC угол с = 90 градусов. . Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке . Е Найти: угол АЕВ

Answer 1

В треугольнике АВС ∠А+∠В=90°.
АЕ и ВЕ - биссектрисы, значит ∠ВАЕ=∠А/2, ∠АВЕ=∠В/2.
В тр-ке АВЕ ∠ВАЕ+∠АВЕ=∠А/2+∠B/2=(∠A+∠B)/2=90/2=45°.
∠AEB=180-(∠ВАЕ+∠АВЕ)=180-45=135° - это ответ.

Answer 2

Для решения этой задачи важно использовать свойства биссектрис в прямоугольном треугольнике. Пусть \(AC\) и \(BC\) — катеты прямоугольного треугольника \(ABC\), а \(\angle C\) — прямой угол.

Известно, что биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(E\).

1. Свойство биссектрисы: Биссектриса угла делит противолежащий ей угол на два равных угла. Таким образом, угол \(AEB\) равен углу \(AEC\), и угол \(BEC\) равен углу \(BEE'\), где \(E'\) — точка пересечения биссектрисы угла \(B\) и стороны \(AC\).

2. Угол в прямоугольном треугольнике: Так как угол \(C\) прямой, то сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Следовательно, угол \(C\) равен сумме углов \(A\) и \(B\): \(\angle C = \angle A + \angle B\).

Теперь подставим известные факты:

\[ \angle C = \angle A + \angle B \quad \text{(свойство углов в треугольнике)} \]

\[ 90^\circ = \angle A + \angle B \quad \text{(прямой угол в треугольнике)} \]

Так как угол \(AEB\) равен углу \(AEC\), заменим \(\angle A\) на \(\angle AEB\):

\[ 90^\circ = \angle AEB + \angle B \]

Теперь мы можем выразить угол \(AEB\):

\[ \angle AEB = 90^\circ - \angle B \]

Таким образом, угол \(AEB\) равен разности прямого угла и угла \(B\).