Question

Диагонали трапеции abcd с основаниями ab и cd пересекаются в точке О. Докажите, что отношение площадей треугольников BOC и AOD равно квадрату отношения BC к AD.

Answer 1

дааа, тоже не могу решить((

Answer 2

Для доказательства равенства отношения площадей треугольников BOC и AOD квадрату отношения BC к AD воспользуемся следующими обозначениями:

Пусть AB и CD - основания трапеции ABCD, а и b - длины её параллельных оснований, соответственно. Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Обозначим точки пересечения диагоналей со сторонами трапеции: точки E и F лежат на стороне AB, а точки G и H лежат на стороне CD.

Теперь рассмотрим треугольники BOC и AOD:

1. Треугольник BOC: - Основание BC (b) - Высота относительно основания BC: это отрезок EF (высота из треугольника BOC)

2. Треугольник AOD: - Основание AD (a) - Высота относительно основания AD: это отрезок GH (высота из треугольника AOD)

Обозначим площади треугольников BOC и AOD через S1 и S2 соответственно.

Тогда: \[ S1 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot EF \] \[ S2 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot GH \]

Теперь рассмотрим отношение площадей:

\[ \frac{S1}{S2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot EF}{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot GH} \]

Упростим выражение:

\[ \frac{S1}{S2} = \frac{BC \cdot EF}{AD \cdot GH} \]

Теперь рассмотрим отношение BC к AD:

\[ \frac{BC}{AD} \]

Также рассмотрим отношение EF к GH:

\[ \frac{EF}{GH} \]

Используем подобие треугольников BOC и AOD (по признаку AA):

\[ \frac{BC}{AD} = \frac{EF}{GH} \]

Теперь подставим это равенство в исходное отношение площадей:

\[ \frac{S1}{S2} = \frac{BC \cdot EF}{AD \cdot GH} = \frac{BC}{AD} \cdot \frac{EF}{GH} \]

\[ \frac{S1}{S2} = \frac{BC}{AD} \]

Таким образом, мы доказали, что отношение площадей треугольников BOC и AOD равно отношению оснований BC к AD в квадрате.