Question

Диаметр окружности МК, где М(-1;-4) и К(7;2). Найдите ординаты точек пересечения окружности с осью ОУ.

Answer 1

Центр окружности $O(x_0;y_0)$ лежит в середине диаметра. Находим координаты с помощью формулы середины отрезка.

$x_0=\frac{-1+7}{2}=3 \\ y_0=\frac{-4+2}{2}=-1$

Радиус окружности - половина длины диаметра. Найдем расстояние между точками M и K и поделим результат на 2.

$MK=\sqrt{(-1-7)^2+(-4-2)^2}=\sqrt{64+36}=10$
$r=5$

Уравнение окружности с центром $(x_0;y_0)$ и радиусом $r$:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

В нашем случае $(x-3)^2+(y+1)^2=25$

Окружность пересекает ось Оу там, где $x=0$. Подставляем в уравнение окружности.

$(0-3)^2+(y+1)^2=25 \\ (y+1)^2=25-9 \\ (y+1)^2=16 \to y_1=3; \ \ y_2=-5$

Ответ: -5 и 3.

Answer 2

Для начала найдем длину радиуса \( r \) окружности, используя координаты точек \( M(-1, -4) \) и \( K(7, 2) \).

Длина радиуса определяется по формуле:

\[ r = \sqrt{(x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2} \]

Где \( x_K \) и \( y_K \) - координаты точки \( K \), а \( x_M \) и \( y_M \) - координаты точки \( M \).

\[ r = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (2 - (-4))^2} \]

\[ r = \sqrt{8^2 + 6^2} \]

\[ r = \sqrt{64 + 36} \]

\[ r = \sqrt{100} \]

\[ r = 10 \]

Теперь у нас есть радиус \( r = 10 \).

Уравнение окружности в общем виде:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

Где \( (x_0, y_0) \) - координаты центра окружности.

Центр окружности \( (x_0, y_0) \) - это середина отрезка между точками \( M \) и \( K \).

\[ x_0 = \frac{x_M + x_K}{2} = \frac{(-1 + 7)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ y_0 = \frac{y_M + y_K}{2} = \frac{(-4 + 2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь у нас есть уравнение окружности:

\[ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 10^2 \]

\[ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 100 \]

Теперь найдем точки пересечения окружности с осью \( OY \). Это происходит, когда \( x = 0 \).

Подставим \( x = 0 \) в уравнение окружности:

\[ (0 - 3)^2 + (y + 1)^2 = 100 \]

\[ 9 + (y + 1)^2 = 100 \]

\[ (y + 1)^2 = 91 \]

\[ y + 1 = \pm \sqrt{91} \]

\[ y = -1 \pm \sqrt{91} \]

Таким образом, точки пересечения окружности с осью \( OY \) имеют координаты:

\[ y = -1 + \sqrt{91} \] и \( y = -1 - \sqrt{91} \).