Question

Через сторону AC треугольника ABC проведена плоскость альфа, удаленная от вершины B на расстояние, равное 4 см, AC = BC = 8 см, угол ABC = 22 градуса 30 минут. Найдите угол между плоскостями ABC и альфа. Обязательно чертёж

Answer 1

Задача требует навыка манипулирования с объемными чертежами.
Я постарался прорисовать поподробнее

Answer 2

Для начала нарисуем треугольник ABC с углом ABC = 22 градуса 30 минут и сторонами AC = BC = 8 см. Затем построим плоскость α, проходящую через сторону AC треугольника ABC и удалённую от вершины B на расстояние 4 см.

Для решения этой задачи нам понадобится триединый угол и его косинус. Триединый угол — это угол между двумя плоскостями. Косинус этого угла можно выразить через нормальные векторы этих плоскостей.

Плоскость ABC задаётся векторами AC и BC:

Вектор AC = [0, 8, 0] (поскольку сторона AC горизонтальна) Вектор BC = [4sin(22.5°), 8cos(22.5°), 0] (здесь мы разложили сторону BC на горизонтальную и вертикальную составляющие)

Теперь найдём нормаль к плоскости ABC, используя векторное произведение векторов AC и BC:

Нормаль к плоскости ABC = AC × BC Выполним вычисления: \[AC \times BC = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 4\sin(22.5°) & 8\cos(22.5°) & 0 \end{vmatrix}\]

\[= \mathbf{i}(8 \cdot 0 - 0 \cdot 8\cos(22.5°)) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 4\sin(22.5°)) + \mathbf{k}(0 \cdot 8 - 4\sin(22.5°) \cdot 0)\] \[= -8\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 0\mathbf{k}\] \[= (-8, 0, 0)\]

Таким образом, нормаль к плоскости ABC равна (-8, 0, 0).

Теперь у нас есть нормаль к плоскости ABC. Нормаль к плоскости α, проходящей через сторону AC, будет направлена вдоль оси y (поскольку она параллельна стороне AC и отстоит от B на 4 см).

Нормаль к плоскости α = (0, 1, 0).

Теперь найдем косинус угла между этими нормалями:

\[\cos(\theta) = \frac{\text{Скалярное произведение нормалей}}{\text{Произведение их длин}}\] \[\cos(\theta) = \frac{(-8, 0, 0) \cdot (0, 1, 0)}{\|(-8, 0, 0)\| \cdot \|(0, 1, 0)\|}\] \[\cos(\theta) = \frac{-8 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0}{\sqrt{(-8)^2 + 0^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}}\] \[\cos(\theta) = \frac{0}{8 \cdot 1} = 0\]

Угол между плоскостями ABC и α равен 90 градусам, так как косинус угла равен 0.

Изобразим это на чертеже:

      C
     /\
    /  \
   /    \
  /______\
 A   8cm  B

В этом случае, плоскость α будет параллельна стороне AC и отстоит от B на 4 см, образуя прямой угол с плоскостью ABC (угол между ними 90 градусов).